二、中档题专练(一)1.[2016·长春监测]已知函数f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－.(1)求函数y＝f(x)的最小正周期和单调递减区间；(2)已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中a＝7，若锐角A满足f＝，且sinB＋sinC＝，求△ABC的面积．解(1)f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－＝sin2x＋cos2x＝2sin，因此f(x)的最小正周期为T＝＝π.f(x)的单调递减区间为2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，即x∈(k∈Z)．(2)由f＝2sin＝2sinA＝，又A为锐角，所以A＝.由正弦定理可得2R＝＝＝，sinB＋sinC＝＝，则b＋c＝×＝13，由余弦定理可知，cosA＝＝＝，可求得bc＝40，故S△ABC＝bcsinA＝10.2．[2016·重庆测试]如图，四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，∠BAD＝，AB＝2，CD＝3，M为PC上一点，PM＝2MC.(1)证明：BM∥平面PAD；(2)若AD＝2，PD＝3，求二面角D－MB－C的正弦值．解(1)证明：如图，过点M作ME∥CD交PD于E，连接AE.又PM＝2MC，故＝＝，因为CD＝3，所以EM＝2.因为AB∥CD，故AB∥EM.而AB＝2，所以AB綊EM，故四边形ABME为平行四边形，从而BM∥AE，又AE⊂平面PAD，BM⊄平面PAD，所以BM∥平面PAD.(2)以D为坐标原点，DC，DP所在射线分别为y，z轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.由已知AD＝AB＝2，∠BAD＝，故△ABD为等边三角形，所以DB＝2，∠ABD＝.因为AB∥CD，故∠BDC＝.记B点的坐标为(xB，yB,0)，则xB＝DB·sin∠BDC＝，yB＝DB·cos∠BDC＝1，即B(，1,0)．由已知PD＝DC＝3，故D(0,0,0，)，P(0,0,3)，C(0,3,0)，DP＝(0,0,3)，PC＝(0,3，－3)．由PM＝2MC，故PM＝PC＝(0,2，－2)，DM＝DP＋PM＝(0,2,1)，即M(0,2,1)．所以DB＝(，1,0)，MC＝(0,1，－1)，BC＝(－，2,0)，设平面BDM的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，平面BCM的法向量为n2＝(x2，y2，z2)．由n1·DM＝0，n1·DB＝0，得故可取n1＝(－1，，－2)，由n2·MC＝0，n2·BC＝0，得故可取n2＝(2，，)，从而法向量n1，n2的夹角的余弦值为cos〈n1，n2〉＝＝－，故所求二面角D－MB－C的正弦值为.3．[2016·贵阳监测]在某校科普知识竞赛前的模拟测试中，得到甲、乙两名学生的6次模拟测试成绩(百分制)的茎叶图．(1)若从甲、乙两名学生中选择一人参加该知识竞赛，你会选哪位？请运用统计学的知识说明理由；(2)若从甲的6次模拟测试成绩中随机选择2个，记选出的成绩中超过87分的个数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．解(1)学生甲的平均成绩甲＝＝82，学生乙的平均成绩乙＝＝82，又s＝×[(68－82)2＋(76－82)2＋(79－82)2＋(86－82)2＋(88－82)2＋(95－82)2]＝77，s＝×[(71－82)2＋(75－82)2＋(82－82)2＋(84－82)2＋(86－82)2＋(94－82)2]＝，则甲＝乙，s>s，说明甲、乙的平均水平一样，但乙的方差小，即乙发挥更稳定，故可选择学生乙参加知识竞赛．(2)随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2，且P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，则ξ的分布列为：ξ012P所以数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.(二)1.[2016·云南统检]设数列{an}的前n项和为Sn，对任意正整数n,3an－2Sn＝2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证：Sn＋2Sn300空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染天数61418272015(1)若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为严重污染．根据提供的统计数据，完成下面的2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”？非严重污染严重污染总计供暖季非供暖季总计100(2)已知某企业每天的经济损失y(单位：元)与空气质量指数x的关系式为y＝试估计该企业一个月(按30天计算)的经济损...
