第七节抛物线————————————————————————————————[考纲传真]1.了解抛物线的实际背影，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、准线方程).3.理解数形结合的思想.4.了解抛物线的简单应用．1．抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y＝0x＝0焦点FFFF离心率e＝1准线方程x＝－x＝y＝－y＝范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R焦半径|PF|x0＋－x0＋y0＋－y0＋1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(“√”“正确的打，错误的打×”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．()(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x＝－.()(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．()(4)AB为抛物线y2＝2px(p>0)的过焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝，y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材改编)若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是()A.B.C.D．0B[M到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y＝－，设M(x，y)，则y＋＝1，∴y＝.]3．抛物线y＝x2的准线方程是()A．y＝－1B．y＝－2C．x＝－1D．x＝－2A[ y＝x2，∴x2＝4y，∴准线方程为y＝－1.]4．(2017·西安质检)已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为()A．(－1,0)B．(1,0)C．(0，－1)D．(0,1)B[抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－且过点(－1,1)，故－＝－1，解得p＝2，所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．]5．(2016·浙江高考)若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是________．9[设点M的横坐标为x0，则点M到准线x＝－1的距离为x0＋1，由抛物线的定义知x0＋1＝10，∴x0＝9，∴点M到y轴的距离为9.]抛物线的定义及应用(1)(2014·全国卷Ⅰ)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，点A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0＝()A．1B．2C．4D．8(2)已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为__________．(1)A(2)2[(1)由y2＝x，知2p＝1，即p＝，因此焦点F，准线l的方程为x＝－.设点A(x0，y0)到准线l的距离为d，则由抛物线的定义可知d＝|AF|.从而x0＋＝x0，解得x0＝1.(2)由y2＝4x，知p＝2，焦点F(1,0)，准线x＝－1.根据抛物线的定义，|AF|＝|AC|＋1，|BF|＝|BD|＋1.因此|AC|＋|BD|＝|AF|＋|BF|－2＝|AB|－2.所以|AC|＋|BD|取到最小值，当且仅当|AB|取得最小值，又|AB|＝2p＝4为最小值．故|AC|＋|BD|的最小值为4－2＝2.][规律方法]1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．如本例充分运用抛物线定义实施转化，使解答简捷、明快．2．若P(x0，y0)为抛物线y2＝2px(p>0)上一点，由定义易得|PF|＝x0＋；若过焦点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2可由根与系数的关系整体求出．[变式训练1]设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为__________．[如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1，由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离．于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小．连接AF交抛物线于点P，此时最小值为|AF|＝＝.]抛物线的标准方程与几何性质(1)点M(5,3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是()【导学号：31222323】A．x2＝yB．x2＝y或x2＝－yC．x2＝－yD．x2＝12y或x2＝－36y(2)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝(k>0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝()A.B．1C.D．2(1)D(2)D[(1)将y＝ax2...
