第七节抛物线[基础达标]一、选择题(每小题5分,共30分)1.在同一坐标系下,下列曲线中,右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合的是()A.=1B.=1C.=1D.=11.D【解析】因为抛物线y2=4x的焦点坐标是(1,0),而A中椭圆的半焦距c=,B中椭圆的半焦距c==2,C中双曲线的半焦距c=,D中双曲线的半焦距c==1,且焦点在x轴上,满足题意.2.(2015·天水一模)过抛物线C:x2=2y的焦点F的直线l交抛物线C于A,B两点,若抛物线C在点B处的切线斜率为1,则线段|AF|=()A.1B.2C.3D.42.A【解析】 x2=2y,∴y'=x, 抛物线C在点B处的切线斜率为1,∴B, x2=2y的焦点F,准线方程为y=-,∴直线l的方程为y=,∴|AF|=1.3.抛物线y2=-12x的准线与双曲线=1的两条渐近线所围成的三角形的面积等于()A.3B.C.6D.63.A【解析】抛物线y2=-12x的准线x=3与双曲线=1的两条渐近线y=±x所围成的三角形的面积等于×2×3=3.4.(2015·滨州模拟)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F恰好是双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点,且两条曲线的交点的连线过点F,则该双曲线的离心率为()A.B.2C.+1D.-14.C【解析】由题意可得=a2+b2,且在双曲线上,则=1,即=1,=1,化简得b2=2ac,则c2-2ac-a2=0,e2-2e-1=0,e>1,解得e=+1.5.(2015·湖南雅礼中学月考)已知抛物线y2=2px(p>0)与双曲线=1(a>0,b>0)有相同的焦点F,点A是两曲线的一个交点,且AF⊥x轴,若l为双曲线的一条渐近线,则l的倾斜角所在的区间可能是()A.B.C.D.5.D【解析】 |AF|==p,c=,∴=2c,又c>b,∴tanθ=>2,∴l的倾斜角所在的区间可能是.6.(2015·赤峰期末)如图所示,设抛物线C:y2=4x的焦点为F,A,B是C上两点,且AF⊥FB,弦AB的中点M在C的准线上的射影为M',则的最小值为()A.B.C.D.6.C【解析】如图所示,设|AF|=a,|BF|=b,A,B在准线上的射影点分别为Q,P,连接AQ,BP,由抛物线定义得|AF|=|AQ|且|BF|=|BP|,在梯形ABPQ中根据中位线定理,得2|MM'|=|AQ|+|BP|=a+b.由勾股定理得|AB|2=a2+b2,配方得|AB|2=(a+b)2-2ab,又 ab≤,∴(a+b)2-2ab≥(a+b)2-2×(a+b)2,得|AB|≥(a+b),∴,即的最小值为.二、填空题(每小题5分,共20分)7.(2015·河南实验中学质检)若抛物线y2=4x上的两点A,B到焦点的距离之和为6,则线段AB的中点到y轴的距离为.7.2【解析】由|AF|+|BF|=xA+xB+p=xA+xB+2=6,得xA+xB=4,则AB的中点横坐标为=2,即线段AB的中点到y轴的距离是2.8.(2015·湖州二模)设F是抛物线C:y2=4x的焦点,过F的直线l交抛物线C于A,B两点,当|AB|=6时,以AB为直径的圆与y轴相交所得弦长是.8.2【解析】过A,B两点和AB的中点D分别向抛物线的准线作垂线,由抛物线定义和梯形中位线知识可得圆心D到y轴的距离d=2,又圆的半径为3,所以以AB为直径的圆与y轴相交所得弦长是2=2.9.若抛物线C1:y2=4x与抛物线C2:x2=2py(p>0)异于原点O的交点A到抛物线C1的焦点的距离为3,则抛物线C2的方程为.9.x2=y【解析】由点A到抛物线C1的焦点的距离为3,得xA+1=3,解得A点坐标为(2,2),代入x2=2py(p>0),得p=,所以抛物线C2的方程为x2=y.10.(2015·南充月考)若以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A,B满足=2,则弦AB的中点到准线的距离为.10.【解析】设||=2m,||=m,m>0,由已知可得xA=2m-1,xB=m-1,则=2,解得m=.由梯形中位线得弦AB的中点到准线的距离为.三、解答题(共10分)11.(10分)如图,直线l与抛物线y2=x交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,与x轴相交于点M,且y1y2=-1.(1)求证:M点的坐标为(1,0);(2)求证:OA⊥OB;(3)求△AOB的面积的最小值.11.【解析】(1)设M点的坐标为(x0,0),直线l的方程为x=my+x0,代入y2=x得y2-my-x0=0,① y1,y2是此方程的两根,∴y1y2=-x0,∴x0=-y1y2=1,即M点的坐标为(1,0).(2) y1y2=-1,∴x1x2+y1y2=+y2y2=y1y2(y1y2+1)=0,∴OA⊥OB.(3)由方程①得y1+y2=m,y1y2=-1,且|OM|=x0=1,于是S△AOB=|OM||y1-y2|=≥1,∴当m=0时,△AOB的面积取最小值1.[高考冲关]1.(5分)设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点A在y轴上,若线段FA的中点B在抛物线上,且点B到抛物线准线的距离为,则点A的坐标为()A.(0,±2)B.(0,2)C.(0,±4)D.(0,4)1.A【解析】由题意可得xB=,又点B到抛物线准线的距离为,所以,解得p=,抛物线方程为y2=2x,又因为xB=,所以yB=±1,yA=±2,故A(0,±2).2.(5分)(2015·河南实验中学质检)双曲线C的左、右焦点分别为F1,F2,且F2恰为抛物线y2=4x的焦...
