第7节圆锥曲线的综合问题第一课时直线与圆锥曲线的位置关系【选题明细表】知识点、方法题号直线与圆锥曲线位置关系1,7,9,10,11,14,15弦长问题3,4,6,12,16中点弦问题2,5,8,13基础对点练(时间:30分钟)1.若直线ax+by-3=0与圆x2+y2=3没有公共点,设点P的坐标为(a,b),则过点P的一条直线与椭圆+=1的公共点的个数为(C)(A)0(B)1(C)2(D)1或2解析:由题意得,圆心(0,0)到直线ax+by-3=0的距离为>,所以a2+b2<3.又a,b不同时为零,所以0
0),B(x2,y2),C(-2,y3),则x1+2=6,解得x1=4,则y1=4,则直线AB的方程为y=2(x-2),则C(-2,-8),联立解得或则B(1,-2),所以|BF|=1+2=3,|BC|=9,所以λ=3,故选D.4.(2016·丽水模拟)斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A,B两点,则|AB|的最大值为(C)(A)2(B)(C)(D)解析:设直线l的方程为y=x+t,代入+y2=1,消去y得x2+2tx+t2-1=0,由题意知Δ=(2t)2-5(t2-1)>0即t2<5,|AB|=≤.5.(2016·江西五市八校二模)已知直线y=1-x与双曲线ax2+by2=1(a>0,b<0)的渐近线交于A,B两点,且过原点和线段AB中点的直线的斜率为-,则的值为(A)(A)-(B)-(C)-(D)-解析:由双曲线ax2+by2=1知其渐近线方程为ax2+by2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则有a+b=0,①a+b=0,②由①-②得a(-)=-b(-).即a(x1+x2)(x1-x2)=-b(y1+y2)(y1-y2),由题意可知x1≠x2,且x1+x2≠0,所以·=-.设AB的中点为M(x0,y0),则kOM====-,又知kAB=-1,所以-×(-1)=-,所以=-.故选A.6.已知抛物线y2=8x的焦点为F,直线y=k(x-2)与此抛物线相交于P,Q两点,则+等于(A)(A)(B)1(C)2(D)4解析:抛物线y2=8x的焦点F坐标为(2,0),准线方程为x=-2,则直线y=k(x-2)过点F,联立得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=4+,x1x2=4,所以+=+===.7.(2016·江苏苏州四校联考)若椭圆+=1与直线x+2y-2=0有两个不同的交点,则m的取值范围是.解析:由消去x并整理得(3+4m)y2-8my+m=0,由题意知解得m>且m≠3.答案:(,3)∪(3,+∞)8.(2014·江西卷)过点M(1,1)作斜率为-的直线与椭圆C:+=1(a>b>0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于.解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),分别代入椭圆方程相减得+=0,根据题意有x1+x2=2×1=2,y1+y2=2×1=2,且=-,所以+×(-)=0,得a2=2b2,所以a2=2(a2-c2),整理得a2=2c2得=,所以e=.答案:9.导学号18702492过椭圆+=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为.解析:由题意知椭圆的右焦点为F(1,0),则直线AB的方程为x=y+1.代入椭圆方程消去x得3y2+2y-8=0.设A(x1,y1),B(x2,y2).则y1+y2=-,y1y2=-,则△OAB的面积S=|OF|·|y1-y2|===.答案:10.导学号18702493已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,焦距为2,离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)设直线l经过点M(0,1),且与椭圆C交于A,B两点,若=2,求直线l的方程.解:(1)设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),因为c=1,=,所以a=2,b=,所以椭圆C的方程为+=1.(2)由题意得直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+1,联立得(3+4k2)x2+8kx-8=0,且Δ>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),由=2,得x1=-2x2,又所以消去x2得()2=,解得k2=,k=±,所以直线l的方程为y=±x+1,即x-2y+2=0或x+2y-2=0.11.导学号18702494设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,离心率为,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.(1)求椭圆的方程;(2)设A,B分别为椭圆的左、右顶点,过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C,D两点.若·+·=8,求k的值.解:(1)设F(-c,0),由=,知a=c,过点F且与x轴垂直的直线为x=-c,代入椭圆方程有+=1,解得y=±,于是=,解得b=,又a2-c2=b2,从而a=,c=1,所以椭圆的方程为+=1.(2)设点C(x1,y1),D(x2,y2),由F(-1,0)得直线CD的方程为y=k(x+1),由方程组消去y,整理得(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0.由根...
