第6节空间向量的运算及应用【选题明细表】知识点、方法题号夹角和距离5,8空间向量的线性运算3,4,7空间向量的坐标运算及数量积2,6,9,10,11综合问题1,12,13,14,15,16基础对点练(时间:30分钟)1.已知点O,A,B,C为空间不共面的四点,且向量a=++,向量b=+-,则与a,b不能构成空间基底的向量是(C)(A)(B)(C)(D)或解析:根据题意得=(a-b),所以,a,b共面.构成空间向量基底的向量不共面.所以选C.2.已知a=(2,3,-4),b=(-4,-3,-2),b=x-2a,则x等于(B)(A)(0,3,-6)(B)(0,6,-20)(C)(0,6,-6)(D)(6,6,-6)解析:由b=x-2a,得x=4a+2b=(8,12,-16)+(-8,-6,-4)=(0,6,-20).3.如图,已知空间四边形OABC,其对角线为OB,AC,M,N分别是对边OA,BC的中点,点G在线段MN上,且分MN所成的比为2,现用基向量,,表示向量,设=x+y+z,则x,y,z的值分别是(D)(A)x=,y=,z=(B)x=,y=,z=(C)x=,y=,z=(D)x=,y=,z=解析:设=a,=b,=c,因为G分MN所成的比为2,所以=,所以=+=+(-)=a+(b+c-a)=a+b+c-a=a+b+c.4.如图所示,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1的交点.若=a,=b,=c,则下列向量中与相等的向量是(A)(A)-a+b+c(B)a+b+c(C)-a-b+c(D)a-b+c解析:=+=+(-)=c+(b-a)=-a+b+c.5.(2016·福州质检)正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a,点M在AC1上且=,N为B1B的中点,则||为(A)(A)a(B)a(C)a(D)a解析:以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则A(a,0,0),C1(0,a,a),N(a,a,).设M(x,y,z).因为点M在AC1上且=,所以(x-a,y,z)=(-x,a-y,a-z),所以x=a,y=,z=.所以M(,,),所以||==a.故选A.6.(2016·西安质检)已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E,F分别是BC,AD的中点,则·的值为(C)(A)a2(B)a2(C)a2(D)a2解析:·=(+)·=(·+·)=(a2cos60°+a2cos60°)=a2.选C.7.已知G是△ABC的重心,O是空间与G不重合的任一点,若++=λ,则λ等于(B)(A)1(B)3(C)(D)2解析:若设BC边的中点为M,则++=+2=++2=+2+2=3,所以λ=3.8.如图,在大小为45°的二面角AEFD中,四边形ABFE,CDEF都是边长为1的正方形,则B,D两点间的距离是(D)(A)(B)(C)1(D)解析:因为=++,所以||2=||2+||2+||2+2·+2·+2·=1+1+1-=3-,故||=.9.导学号18702390在空间直角坐标系中,以点A(4,1,9),B(10,-1,6),C(x,4,3)为顶点的△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形,则实数x的值为.解析:由题意知·=0,||=||,又=(6,-2,-3),=(x-4,3,-6),所以解得x=2.答案:210.已知点A(1,2,1),B(-1,3,4),D(1,1,1),若=2,则||的值是.解析:设P(x,y,z),所以=(x-1,y-2,z-1),=(-1-x,3-y,4-z),由=2得点P坐标为(-,,3),又D(1,1,1),所以||=.答案:11.已知O(0,0,0),A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),点Q在直线OP上运动,当·取最小值时,点Q的坐标是.解析:由题意,设=λ,即=(λ,λ,2λ),则=(1-λ,2-λ,3-2λ),=(2-λ,1-λ,2-2λ),所以·=(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(3-2λ)(2-2λ)=6λ2-16λ+10=6(λ-)2-,当λ=时有最小值,此时Q点坐标为(,,).答案:(,,)能力提升练(时间:15分钟)12.导学号18702391A,B,C,D是空间不共面的四点,且满足·=0,·=0,·=0,M为BC的中点,则△AMD是(C)(A)钝角三角形(B)锐角三角形(C)直角三角形(D)不确定解析:因为M为BC的中点,所以=(+).所以·=(+)·=·+·=0.所以AM⊥AD,△AMD为直角三角形.13.导学号18702393如图所示,已知空间四边形OABC,OB=OC,且∠AOB=∠AOC=,则cos<,>的值为.解析:设=a,=b,=c,由已知条件
==,且|b|=|c|,·=a·(c-b)=a·c-a·b=|a||c|-|a||b|=0,所以⊥,所以cos<,>=0.答案:014.导学号18702392已知a=(1,-3,2),b=(-2,1,1),点A(-3,-1,4),B(-2,-2,2).(1)求|2a+b|;(2)在直线AB上,是否存在一点E,使得⊥b?(O为原点)解:(1)2a+b=(2,-6,4)+(-2,1,1)=(0,-5,5),故|2a+b|==5.(2)令=t(t∈R),所以=+=+t=(-3,-1,4)+t(1,-1,-2)=(-3+t,-1-t,4-2t),若⊥b,则·b=0,所以-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0,解得t=.所以-3+t=-,-1-t=-,4-2t=,因此存在点E,使得⊥b,此时E点的坐标为(-,-,).15.导学号18702394正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点.求证:AB1⊥平面A1BD.证明:如图所示,取BC的中点O,连接AO.因为△ABC为正三角形,所以AO⊥BC.因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1,所以AO⊥平面BCC1B1.取B1C1的中点O1,以O为原点,以,,为x轴、y轴、z轴的正方向...
