第3节三角恒等变换【选题明细表】知识点、方法题号三角函数的化简求值1,2,5,7,10给值求值3,4,8,11给值求角9,12,13,15综合应用6,14,16基础对点练(时间:30分钟)1.化简cos15°cos45°-cos75°sin45°的值为(A)(A)(B)(C)-(D)-解析:cos15°cos45°-cos75°sin45°=cos15°cos45°-sin15°sin45°=cos(15°+45°)=cos60°=.故选A.2.-等于(D)(A)4(B)2(C)-2(D)-4解析:-=-====-4.故选D.3.(2016·开封二模)若点P(cosθ,sinθ)在直线x+2y=0上,则cos2θ+sin2θ等于(A)(A)-(B)-(C)(D)解析:若点P(cosθ,sinθ)在直线x+2y=0上,则cosθ+2sinθ=0,即tanθ=-.故cos2θ+sin2θ===-.故选A.4.(2016·东北三省二模)已知sinα+cosα=,则sin2(-α)等于(B)(A)(B)(C)(D)解析:由sinα+cosα=,将等式两边平方,得2sinαcosα=-.所以sin2(-α)=====.故选B.5.的值为(D)(A)1(B)-1(C)(D)-解析:原式===-.故选D.6.定义运算=ad-bc.若cosα=,=,0<β<α<,则β等于(D)(A)(B)(C)(D)解析:依题意有sinαcosβ-cosαsinβ=sin(α-β)=,又0<β<α<,所以0<α-β<,故cos(α-β)==,而cosα=,所以sinα=,于是sinβ=sin[α-(α-β)]=sinαcos(α-β)-cosαsin(α-β)=×-×=.故β=.故选D.7.(2016·长沙雅礼中学月考)sin15°+cos15°=.解析:sin15°+cos15°=(sin15°+cos15°)=sin(15°+45°)=sin60°=.答案:8.设θ为第二象限角,若tan(θ+)=,则sinθ+cosθ=.解析:tan(θ+)==,解得tanθ=-.由得sinθ=,cosθ=-,所以sinθ+cosθ=-.答案:-9.若锐角α,β满足(1+tanα)(1+tanβ)=4,则α+β=.解析:由(1+tanα)(1+tanβ)=4,可得=,即tan(α+β)=.又α+β∈(0,π),所以α+β=.答案:10.导学号18702183化简:.解:=======tanα.11.导学号18702184已知α,β均为锐角,且sinα=,tan(α-β)=-.(1)求sin(α-β)的值;(2)求cosβ的值.解:(1)因为α,β∈(0,),从而-<α-β<.又因为tan(α-β)=-<0,所以-<α-β<0.所以sin(α-β)=-.(2)由(1)可得cos(α-β)=.因为α为锐角,且sinα=,所以cosα=.所以cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=×+×(-)=.能力提升练(时间:15分钟)12.(2016·哈尔滨六中期中)设α∈(0,),β∈(0,),tanα=,则(B)(A)3α-β=(B)2α-β=(C)3α+β=(D)2α+β=解析:=,则cosα+cosαsinβ=sinαcosβ,所以cosα=sin(α-β),sin(-α)=sin(α-β),又因为α,β都是锐角,所以-α=α-β或-α+α-β=π,所以2α-β=或β=-(舍).故选B.13.导学号18702186若sin2α=,sin(β-α)=,且α∈[,π],β∈[π,],则α+β的值是(A)(A)(B)(C)或(D)或解析:因为α∈[,π],故2α∈[,2π],但sin2α=,故2α∈[,π],α∈[,],所以cos2α=-,因为β∈[π,],故β-α∈[,],于是cos(β-α)=-,所以cos(α+β)=cos[2α+(β-α)]=cos2αcos(β-α)-sin2αsin(β-α)=-×(-)-×=,又α+β∈[,2π],故α+β=,故选A.14.设x∈(0,),则函数y=的最大值为.解析:因为x∈(0,),所以tanx>0,函数y====≤=,当且仅当3tanx=时等号成立,故最大值为.答案:15.已知α,β为锐角,sinα=,cos(α+β)=-,求2α+β.解:因为sinα=,α∈(0,),所以cosα=.因为cos(α+β)=-,α+β∈(0,π),所以sin(α+β)=,所以sin(2α+β)=sin[α+(α+β)]=sinαcos(α+β)+cosαsin(α+β)=×(-)+×=0.又2α+β∈(0,),所以2α+β=π.16.导学号18702187已知向量a=(sinωx,cosωx),b=(cos,sin),函数f(x)=a·b(ω>0,<<π)的最小正周期为2π,其图象经过点M(,).(1)求函数f(x)的解析式;(2)已知α,β∈(0,),且f(α)=,f(β)=,求f(2α-β)的值.解:(1)依题意有f(x)=a·b=sinωxcos+cosωxsin=sin(ωx+).因为函数f(x)的最小正周期为2π,所以2π=T=,解得ω=1.将点M(,)代入函数f(x)的解析式,得sin(+)=.因为<<π,所以<+<,所以+=,所以=.故f(x)=sin(x+)=cosx.(2)依题意有cosα=,cosβ=,而α,β∈(0,),所以sinα==,sinβ==,所以sin2α=2sinαcosα=,cos2α=cos2α-sin2α=-=-,所以f(2α-β)=cos(2α-β)=cos2αcosβ+sin2αsinβ=(-)×+×=.好题天天练1.导学号18702188已知tan(α+)=2,tan(β-)=-3,则tan(α-β)等于(D)(A)1(B)-(C)(D)-1解题关键:注意观察α+与β-π的关系,配凑使用公式求tan(α-β).解析:tan[(α+)-(β-)]=tan[(α-β)+π]=tan(α-β)==-1.2.(2016·杭州质检)已知α∈(,),β∈(0,),且cos(-α)=,Sin(π+β)=-,则cos(α+β)=.解题关键:注意角α,β的范围.解析:因为α∈(,),cos(-α)=,所以sin(-α)=-,因为sin(π+β)=-,所以sin(π+β)=,又因为β∈(0,),所以cos(π+β)=,所以cos(α+β)=cos[(+β)-(-α)]=×+(-)×=-.答案:-
