第4节直接证明与间接证明、数学归纳法【选题明细表】知识点、方法题号综合法与分析法1,3,9,12反证法4,5,8数学归纳法2,6,7,14综合应用10,11,13基础对点练(时间:30分钟)1.若a,b,c是不全相等的实数,求证:a2+b2+c2>ab+bc+ca.证明过程如下:因为a,b,c∈R,所以a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,又因为a,b,c不全相等,所以以上三式至少有一个“=”不成立,所以将以上三式相加得2(a2+b2+c2)>2(ab+bc+ac),所以a2+b2+c2>ab+bc+ca.此证法是(B)(A)分析法(B)综合法(C)分析法与综合法并用(D)反证法解析:由已知条件入手证明结论成立,满足综合法的定义.故选B.2.用数学归纳法证明“2n>2n+1对于n≥n0的正整数n都成立”时,第一步证明中的起始值n0应取(B)(A)2(B)3(C)5(D)6解析:因为n=1时,21=2,2×1+1=3,2n>2n+1不成立;n=2时,22=4,2×2+1=5,2n>2n+1不成立;n=3时,23=8,2×3+1=7,2n>2n+1成立.所以n的第一个取值n0=3.故选B.3.要使-<成立,则a,b应满足(D)(A)ab<0且a>b(B)ab>0且a>b(C)ab<0且a
0且a>b或ab<0且a0且a>b或ab<0且a0,则三个数+,+,+(C)(A)都大于2(B)至少有一个大于2(C)至少有一个不小于2(D)至少有一个不大于2解析:假设三个数都小于2,则+++++<6,由于+++++=(+)+(+)+(+)≥2+2+2=6,所以假设不成立,所以+,+,+中至少有一个不小于2.故选C.6.如果命题P(n)对n=k成立,则它对n=k+1也成立,现已知P(n)对n=4不成立,则下列结论正确的是(D)(A)P(n)对n∈N*成立(B)P(n)对n>4且n∈N*成立(C)P(n)对n=5成立(D)P(n)对n=3不成立解析:根据数学归纳法,可知由n=k成立,则它对n=k+1也成立,其逆否命题为由n=k+1不成立,则它对n=k也不成立,即P(n)对n=4不成立,则P(n)对n=3不成立.故选D.7.用数学归纳法证明“当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除”,当第二步假设n=2k-1(k∈N*)命题为真时,进而需证n=时,命题亦真.解析:n为正奇数,假设n=2k-1成立后,需证明的应为n=2k+1时成立.答案:2k+18.若下列两个方程x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根,则实数a的取值范围是.解析:假设两个一元二次方程均无实根,则有即解得{a|-20,用分析法证明-≥a+-2.证明:要证-≥a+-2,只需证≥(a+)-(2-).因为a>0,所以(a+)-(2-)>0,所以只需证()2≥[(a+)-(2-)]2,即2(2-)(a+)≥8-4,只需证a+≥2.因为a>0,a+≥2显然成立(a==1时等号成立),所以要证的不等式成立.10.设函数f(x)=ax2+bx+c且f(1)=-,3a>2c>2b.(1)试用反证法证明:a>0.(2)证明:-3<<-.证明:(1)假设a≤0,因为3a>2c>2b,所以3a≤0,2c<0,2b<0,将上述不等式相加得3a+2c+2b<0,因为f(1)=-,所以3a+2c+2b=0,这与3a+2c+2b<0矛盾,所以假设不成立,所以a>0.(2)因为f(1)=a+b+c=-,所以c=-a-b.所以3a>2c=-3a-2b,所以3a>-b.因为2c>2b,所以-3a>4b.因为a>0,所以-3<<-.能力提升练(时间:15分钟)11.导学号18702633设a,b,c是正数,p=a+b-c,q=b+c-a,r=c+a-b,则“pqr>0”是“p,q,r同时大于零”的(C)(A)充分条件(B)必要条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件解析:必要性显然具备,充分性:若pqr>0,则p,q,r同时大于零或其中两个为负,不妨设p<0,q<0,r>0,因为p<0,q<0,即a+b0矛盾,所以p,q,r同时大于零,故选C.12.(2016·成都模拟)已知函数f(x)=()x,a,b是正实数,A=f(),B=f(),C=f(),则A,B,C的大小关系为(A)(A)A≤B≤C(B)A≤C≤B(C)B≤C≤A(D)C≤B≤A解析:因为≥≥,又f(x)=()x在R上是减函数,所以f()≤f()≤f(),即A≤B≤C.故选A.13.凸函数的性质定理为如果函数f(x)在区间D上是凸函数,则对于区间D内的任意x1,x2,…,xn,有≤f(),已知函数y=sinx在区间(0,π)上是凸函数,则在△ABC中,sinA+s...
