第十三章推理与证明、算法与复数第2讲直接证明与间接证明练习理新人教A版基础巩固题组(建议用时：35分钟)一、选择题1.“用反证法证明命题设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0”至少有一个实根时，要做的假设是()A.方程x3＋ax＋b＝0没有实根B.方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C.方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D.方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根“解析因为方程x3＋ax＋b＝0”“至少有一个实根等价于方程x3＋ax＋b＝0的实根的个数大于或等于1”，“所以要做的假设是方程x3＋ax＋b＝0”没有实根.答案A2.若a，b∈R，则下面四个式子中恒成立的是()A.lg(1＋a2)>0B.a2＋b2≥2(a－b－1)C.a2＋3ab>2b2D.<解析在B中， a2＋b2－2(a－b－1)＝(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，∴a2＋b2≥2(a－b－1)恒成立.答案B3.已知m>1，a＝－，b＝－，则以下结论正确的是()A.a>bB.a＋＞0(m＞1)，∴<，即a40，∴＋>2＋.答案＋>2＋7.下列条件：①ab>0，②ab<0，③a>0，b>0，④a<0，b<0，其中能使＋≥2成立的条件的序号是________.解析要使＋≥2，只需>0成立，即a，b不为0且同号即可，故①③④能使＋≥2成立.答案①③④8.设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＞2；②a2＋b2＞2.“其中能推出：a，b中至少有一个大于1”的条件的是________(填序号).答案①三、解答题9.(1)设a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：＋＋≥8.(2)已知a，b，c是全不相等的正实数，求证：＋＋＞3.证明(1) a＋b＝1，∴＋＋＝＋＋＝1＋＋1＋＋≥2＋2＋＝2＋2＋4＝8，当且仅当a＝b＝时，等号成立.(2) a，b，c全不相等，且都大于0.∴与，与，与全不相等，∴＋＞2，＋＞2，＋＞2，三式相加得＋＋＋＋＋＞6，∴＋＋＞3，即＋＋＞3.10.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证：数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列.(1)解当n＝1时，a1＋S1＝2a1＝2，则a1＝1.又an＋Sn＝2，所以an＋1＋Sn＋1＝2，两式相减得an＋1＝an，所以{an}是首项为1，公比为的等比数列，所以an＝.(2)证明反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap＋1，aq＋1，ar＋1(p
