第二节推理与证明[基础达标]一、选择题(每小题5分,共30分)1.要证a2+b2-1-a2b2≤0,只要证明()A.2ab-1-a2b2≤0B.a2+b2-1-≤0C.-1-a2b2≤0D.(a2-1)(b2-1)≥01.D【解析】因为a2+b2-1-a2b2=(a2-1)(1-b2),所以要证a2+b2-1-a2b2≤0,只需证明(a2-1)(b2-1)≥0.2.下列叙述正确的是()A.综合法、分析法是直接证明的方法B.综合法是直接证法,分析法是间接证法C.综合法、分析法所用语气都是肯定的D.综合法、分析法所用语气都是假定的2.A【解析】根据相关定义可知A项正确.3.用反证法证明命题时,对结论“自然数a,b,c中恰有一个偶数”的反设是()A.自然数a,b,c中至少有两个偶数B.自然数a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数C.自然数a,b,c都是奇数D.自然数a,b,c都是偶数3.B【解析】“自然数a,b,c中恰有一个偶数”的反设是“自然数a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数”.4.用数学归纳法证明不等式1++…+时,起始值至少取()A.7B.8C.9D.104.B【解析】1++…+=21-.当n=7时,2;当n=8时,2,故起始值至少取8.5.已知a>b>c>0,则下列不等式成立的是()A.B.C.D.5.C【解析】由题意可得(a-c)=[(a-b)+(b-c)]=2+≥2+2=4,所以.6.已知面积为S的凸四边形中,四条边长分别记为a1,a2,a3,a4,点P为四边形内任意一点,且点P到四边的距离分别记为h1,h2,h3,h4,若=k,则h1+2h2+3h3+4h4=.类比以上性质,体积为V的三棱维的每个面的面积分别记为S1,S2,S3,S4,此三棱锥内任一点Q到每个面的距离分别为H1,H2,H3,H4,若=K,则H1+2H2+3H3+4H4=()A.B.C.D.6.B【解析】在平面图形中,利用面积分割得S=a1h1+a2h2+a3h3+a4h4=kh1+×2kh2+×3kh3+×4kh4,则h1+2h2+3h3+4h4=.类比到空间,利用体积分割得V=S1H1+S2H2+S3H3+S4H4=KH1+×2KH2+×3KH3+×4KH4,则H1+2H2+3H3+4H4=.二、填空题(每小题5分,共15分)7.数列{an}中,a1=1,an+1=-,则a2016=.7.-2【解析】由题意可得a1=1,a2=-,a3=-2,a4=1,a5=-,…,归纳得出数列{an}是以3为周期的周期数列,而2016=3×672,∴a2016=a3=-2.8.已知如图1所示的图形有面积关系,用类比的思想写出如图2所示的图形的体积关系=.8.【解析】在图2中过点A作AO⊥平面PBC于点O,连接PO,则A1在平面PBC内的射影O1落在PO上,则,又 ,∴.9.(2015·蚌埠质检)若正方体P1P2P3P4-Q1Q2Q3Q4的棱长为1,集合M={x|x=,S,T∈{P,Q},i,j∈{1,2,3,4}},则对于下列命题:①当时,x=1;②当时,x=-1;③当x=1时,(i,j)有8种不同取值;④当x=1时,(i,j)有16种不同取值;⑤M={-1,0,1}.其中正确的结论序号为.(填上所有正确结论的序号)9.①④⑤【解析】因为,所以当时,x==1,①正确,②错误;当x=1时,i=1,2,3,4,j=1,2,3,4,所以(i,j)有16种不同取值,③错误,④正确;当时,x=0,当时,x=-1,所以M={-1,0,1},⑤正确.三、解答题(共20分)10.(10分)设f(x)=,g(x)=(其中a>0,且a≠1).(1)请将g(5)用f(2),f(3),g(2),g(3)来表示;(2)如果(1)中获得了一个结论,能否将其推广,用“三段论”进行证明.10.【解析】(1)由g(5)=包括a5,易知表示式中必有f(2)g(3)或f(3)g(2),又f(3)g(2)+g(3)f(2)=,因此g(5)=f(3)g(2)+g(3)f(2).(2)由g(5)=f(3)g(2)+g(3)f(2),即g(3+2)=f(3)g(2)+g(3)f(2),于是推测g(x+y)=f(x)g(y)+g(x)f(y).证明:因为f(x)=,g(x)=,(大前提)所以g(x+y)=,g(y)=,f(y)=,(小前提)所以f(x)g(y)+g(x)f(y)==g(x+y).(结论)11.(10分)用数学归纳法证明:1-+…++…+(n∈N*).11.【解析】①当n=1时,左边=右边=,命题成立.②假设n=k(k∈N*)时,命题成立,即1-+…++…+,则当n=k+1时,左边=1-+…+=(+…+)++…+=右边,于是当n=k+1时,命题也成立.由①②可知,原命题对所有正整数都成立.[高考冲关]1.(5分)(2015·上海十三校联考)用反证法证明命题:“已知a,b∈N*,如果ab可被5整除,那么a,b中至少有一个能被5整除”时,假设的内容应为()A.a,b都能被5整除B.a,b都不能被5整除C.a,b不都能被5整除D.a不能被5整除1.B【解析】“a,b中至少有一个能被5整除”的反面情况是“a,b都不能被5整除”.2.(5分)(2015·陕西高考)对二次函数f(x)=ax2+bx+c(a为非零整数),四位同学分别给出下列结论,其中有且只有一个结论是错误的,则错误的结论是()A.-1是f(x)的零点B.1是f(x)的极值点C.3是f(x)的极值D.点(2,8)在曲线y=f(x)上2.A【解析】若B,C,D都正确,则f(x)=a(x-1)2+3,a>0,代...
