第二节与圆有关的性质与定理[基础达标]一、填空题(每小题5分,共20分)1.已知圆O的半径为1,过圆外一点P作圆O的割线与圆O交于C,D两点.若PC·PD=8,则线段PO的长度为.3【解析】由割线定理可得PC·PD=(PO-1)·(PO+1),则8=(PO-1)·(PO+1),解得PO=3.2.如图,BC是圆O的一条弦,延长BC至点E,使得BC=2CE=2,过E作圆O的切线,A为切点,∠BAC的平分线AD交BC于点D,则DE的长为.【解析】由切割线定理得AE2=EC·EB=1×3=3,所以AE=.因为AD是∠BAC的平分线,所以∠BAD=∠CAD.因为AE是圆O的切线,所以∠EAC=∠ABC.因为∠ADC=∠BAD+∠ABC,所以∠ADC=∠CAD+∠EAC=∠EAD,所以DE=AE=.3.(2015·怀化二模)如图,PB,PD为圆O的两条割线,若PA=5,AB=7,CD=11,AC=2,则BD=.6【解析】设PC=x,则根据割线定理得PA×PB=PC×PD,即5(5+7)=x(x+11),解得x=4(舍去-15),∴PC=4,PD=15. 四边形ABDC是圆内接四边形,∴∠B=∠ACP,∠D=∠CAP,可得△PAC∽△PDB,∴,即,可得BD=6.4.(2015·重庆巴蜀中学三诊)过圆外一点P作圆的切线PA(A为切点),再作割线PC与圆交于B,C.若PA=6,AC=8,BC=9,则AB=.4【解析】由切割线定理可得PA2=PB×PC,即36=PB×(PB+9),解得PB=3.又由弦切角定理得∠PAB=∠ACP,则△PAB∽△PCA,所以,则AB==4.二、解答题(每小题10分,共40分)5.(2015·西北师大附中一诊)已知,AB为圆O的直径,CD为垂直AB的一条弦,垂足为E,弦AG交CD于F.(1)求证:E,F,G,B四点共圆;(2)若GF=2FA=4,求线段AC的长.【解析】(1)如图,连接GB,由AB为圆O的直径可知∠AGB=90°,又CD⊥AB,所以∠AGB=∠BEF=90°,因此E,F,G,B四点共圆.(2)连接BC,由E,F,G,B四点共圆得AF·AG=AE·AB,又AF=2,AG=6,所以AE·AB=12.因为在Rt△ABC中AC2=AE·AB,所以AC=2.6.(2015·苏州调研)如图,过☉O外一点P作☉O的切线PA,切点为A,连接OP与☉O交于点C,过C作AP的垂线,垂足为D.若PA=12cm,PC=6cm,求CD的长.【解析】设☉O半径为r,由切割线定理得AP2=PC·(PC+2r),即122=6×(6+2r),解得r=9cm.连接OA,则有OA⊥AP,又CD⊥AP,所以OA∥CD.所以,即CD=cm.7.(2015·南昌一模)如图所示,PA为圆O的切线,A为切点,PO交圆O于B,C两点,PA=20,PB=10,∠BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E.(1)求证AB·PC=PA·AC;(2)求AD·AE的值.【解析】(1) PA为圆O的切线,∴∠PAB=∠ACP,又∠P为公共角,∴△PAB∽△PCA,∴AB·PC=PA·AC,(2) PA为圆O的切线,PC是过点O的割线,∴PA2=PB·PC,∴PC=40,BC=30,又 ∠CAB=90°,∴AC2+AB2=BC2=900,又由(1)知,∴AC=12,AB=6,连接EC,则∠CAE=∠EAB,△ACE∽△ADB,∴,即AD·AE=AB·AC=6×12=360.8.(2015·新课标全国卷Ⅱ)如图,O为等腰三角形ABC内一点,☉O与△ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高AD交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点.(1)证明:EF∥BC;(2)若AG等于☉O的半径,且AE=MN=2,求四边形EBCF的面积.【解析】(1)由于△ABC是等腰三角形,AD⊥BC,所以AD是∠CAB的平分线.又因为☉O分别与AB,AC相切于点E,F,所以AE=AF,故AD⊥EF.从而EF∥BC.(2)由(1)知,AE=AF,AD⊥EF,故AD是EF的垂直平分线.又EF为☉O的弦,所以O在AD上.连接OE,OM,则OE⊥AE.由AG等于☉O的半径得AO=2OE,所以∠OAE=30°,因此△ABC和△AEF都是等边三角形.因为AE=2,所以AO=4,OE=2.因为OM=OE=2,DM=MN=,所以OD=1,于是AD=5,AB=.所以四边形EBCF的面积为×(2)2×.[高考冲关]1.(5分)(2015·广东高考)如图,已知AB是圆O的直径,AB=4,EC是圆O的切线,切点为C,BC=1.过圆心O作BC的平行线,分别交EC和AC于点D和点P,则OD=.8【解析】由于AB是直径,则有∠ACB=90°,而BC∥OD,则知AC⊥OD,则知OP=BC=,连接OC,可知Rt△CPO∽Rt△DCO,则有,解得OD=8.2.(5分)(2015·怀化三模)如图,△ABC内接于☉O,点D在OC的延长线上,AD与☉O相切,割线DN与☉O相交于点M,N,若∠B=30°,AC=1,则DM×DN=.3【解析】连接OA, ∠B=30,∴∠AOC=2∠B=60°, OA=OC,∴△AOC是等边三角形,∴OA=AC=1. ∠OAD=90°,∴∠D=30,∴AD=·AO=. AD与☉O相切,割线DN与☉O相交于点M,N,∴AD2=DM×DN=3.3.(10分)(2015·陕西高考)如图,AB切☉O于点B,直线AO交☉O于D,E两点,BC⊥DE,垂足为C.(1)证明:∠CBD=∠DBA;(2)若AD=3DC,BC=,求☉O的直径.【解析】(1)因为DE为☉O直径,则∠BED+∠EDB=90°,又BC⊥DE,所以∠CBD+∠ED...
