选修4-4坐标系与参数方程第一节坐标系————————————————————————————————[考纲传真]1.理解坐标系的作用,了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念,会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:的作用下,点P(x,y)对应到点P′(x′,y′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换.2.极坐标系与点的极坐标(1)极坐标系:如图1所示,在平面内取一个定点O(极点),自极点O引一条射线Ox(极轴);再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.图1(2)极坐标:平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从Ox到OM的角度θ来刻画,这两个数组成的有序数对(ρ,θ)称为点M的极坐标.其中ρ称为点M的极径,θ称为点M的极角.3.极坐标与直角坐标的互化点M直角坐标(x,y)极坐标(ρ,θ)互化公式ρ2=x2+y2tanθ=(x≠0)4.圆的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为r的圆ρ=r(0≤θ<2π)圆心为(r,0),半径为r的圆ρ=2rcos_θ圆心为,半径为r的圆ρ=2rsin_θ(0≤0<π)5.直线的极坐标方程(1)直线l过极点,且极轴到此直线的角为α,则直线l的极坐标方程是θ=α(ρ∈R).(2)直线l过点M(a,0)且垂直于极轴,则直线l的极坐标方程为ρcosθ=a.(3)直线过M且平行于极轴,则直线l的极坐标方程为ρsin_θ=b(0<θ<π).1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(“√”“正确的打,错误的打×”)(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系,在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系.()(2)若点P的直角坐标为(1,-),则点P的一个极坐标是.()(3)在极坐标系中,曲线的极坐标方程不是唯一的.()(4)极坐标方程θ=π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线.()[答案](1)×(2)√(3)√(4)×2.(教材改编)若以直角坐标系的原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则线段y=1-x(0≤x≤1)的极坐标方程为()A.ρ=,0≤θ≤B.ρ=,0≤θ≤C.ρ=cosθ+sinθ,0≤θ≤D.ρ=cosθ+sinθ,0≤θ≤A[ y=1-x(0≤x≤1),∴ρsinθ=1-ρcosθ(0≤ρcosθ≤1),∴ρ=.]3.(教材改编)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ,则曲线C的直角坐标方程为________.x2+y2-2y=0[由ρ=2sinθ,得ρ2=2ρsinθ.所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2y=0.]4.已知直线l的极坐标方程为2ρsin=,点A的极坐标为A,则点A到直线l的距离为________.[由2ρsin=,得2ρ=,∴y-x=1.由A,得点A的直角坐标为(2,-2).∴点A到直线l的距离d==.]5.(2015·江苏高考)已知圆C的极坐标方程为ρ2+2ρsin-4=0,求圆C的半径.[解]以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O,以极轴为x轴的正半轴,建立直角坐标系xOy.2分圆C的极坐标方程可化为ρ2+2ρ-4=0,4分化简,得ρ2+2ρsinθ-2ρcosθ-4=0.6分则圆C的直角坐标方程为x2+y2-2x+2y-4=0,即(x-1)2+(y+1)2=6,所以圆C的半径为.10分平面直角坐标系中的伸缩变换将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)设直线l:2x+y-2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.[解](1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为曲线C上的点(x,y),依题意,得2分由x+y=1得x2+2=1,故曲线C的方程为x2+=1.5分(2)由解得或6分不妨设P1(1,0),P2(0,2),则线段P1P2的中点坐标为,所求直线斜率为k=,8分于是所求直线方程为y-1=,化为极坐标方程,并整理得2ρcosθ-4ρsinθ=-3,故所求直线的极坐标方程为ρ=.10分[规律方法]1.解答该类问题应明确两点:一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用;二是明确变换前的点P(x,y)与变换后的点P′(...