第二节参数方程————————————————————————————————[考纲传真]1.了解参数方程，了解参数的意义.2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆曲线的参数方程．1．曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．2．参数方程与普通方程的互化通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．3．常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹普通方程参数方程直线y－y0＝tanα(x－x0)(t为参数)圆x2＋y2＝r2(θ为参数)椭圆＋＝1(a>b>0)(φ为参数)温馨提示：在直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(“√”“正确的打，错误的打×”)(1)参数方程中的x，y都是参数t的函数．()(2)过M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．参数t的几何意义表示：直线l上以定点M0为起点，任一点M(x，y)为终点的有向线段M0M的数量．()(3)方程表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．()(4)已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝，点O为原点，则直线OM的斜率为.()[答案](1)√(2)√(3)√(4)×2．(教材改编)曲线(θ为参数)的对称中心()A．在直线y＝2x上B．在直线y＝－2x上C．在直线y＝x－1上D．在直线y＝x＋1上B[由得所以(x＋1)2＋(y－2)2＝1.曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(－1,2)，在直线y＝－2x上．]3．(教材改编)在平面直角坐标系中，曲线C：(t为参数)的普通方程为________．x－y－1＝0[由x＝2＋t，且y＝1＋t，消去t，得x－y＝1，即x－y－1＝0.]4．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ(cosθ＋sinθ)＝－2，曲线C2的参数方程为(t为参数)，则C1与C2交点的直角坐标为________．(2，－4)[由ρ(cosθ＋sinθ)＝－2，得x＋y＝－2.①由消去t得y2＝8x.②联立①②得即交点坐标为(2，－4)．]5．(2016·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，椭圆C的参数方程为(θ为参数)．设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长．[解]椭圆C的普通方程为x2＋＝1.2分将直线l的参数方程代入x2＋＝1，得2＋＝1，即7t2＋16t＝0，8分解得t1＝0，t2＝－，所以AB＝|t1－t2|＝.10分参数方程与普通方程的互化已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(θ为参数)．(1)求直线l和圆C的普通方程；(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．[解](1)直线l的普通方程为2x－y－2a＝0，2分圆C的普通方程为x2＋y2＝16.4分(2)因为直线l与圆C有公共点，故圆C的圆心到直线l的距离d≤＝4，8分解得－2≤a≤2.10分[规律方法]1.将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换消去参数．2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响，要保持同解变形．[变式训练1]在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(φ为参数)的右顶点，求常数a的值.【导学号：31222440】[解]直线l的普通方程为x－y－a＝0，椭圆C的普通方程为＋＝1，4分所以椭圆C的右顶点坐标为(3,0)，若直线l过椭圆的右顶点(3,0)，则3－0－a＝0，所以a＝3.10分参数方程的应用已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数).【导学号：31222441】(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．[解](1)曲线C的参数方程为(θ为参数)．直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.4分(2)曲线C上任意一点P(2cosθ，3sinθ)到l的距离为d＝|4cosθ＋3sin...
