十二章微分方程 2025 级作业(4 页)Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善。第六章 微分方程习题 6-1２．验证下列各函数是否是相应微分方程的解： （１），； （３），； 第二节 可分离变量的微分方程习题６－２１．求下列可分离变量的微分方程的通解．（３）； （４）； （６）； （８）；２．求解下列微分方程的初值问题．（３），； （６），；第三节 齐次方程习题６－３１．求下列齐次方程的通解．（２）； （５）； （７）； （８）．２．求下列微分方程的初值问题． （１），；５．设有连接点和的 一段向上凸的曲线弧，对于上任一点，曲线弧与直线段所围成的面积为，求曲线弧的方程．第四节 一阶线性方程与伯努利方程 习题６－４１．求下列微分方程的通解．（３）； （５）； （７）； （８）．２．求下列微分方程的初值问题．（２），； （４），．３．求下列伯努利方程的通解． （１）； 第五节 可降阶的高阶微分方程 习题６－５１，求下列微分方程的通解．（４）； （５）； （６）； （８）；２．求下列初值问题． （２），，； （４），，； 第六节 二阶线性微分方程解的结构 习题６－６２．验证，是方程的两个特解，并求出此方程的通解．５．证明：若，是二阶非齐次线性方程的两个解，则是其对应齐次方程的解．第七节二阶常系数线性微分方程习题６－７１．求下列微分方程的通解或给定初始条件下的特解． （２）； （３）； （５）； （６）；2．求下列微分方程所给定初始条件下的特解．（1），，（2），，；（5），，；3．求下列微分方程的通解或给定初始条件下的特解． （２）； （５）； （６）； （８），，；4．已知，其中为连续函数，求． ６．８ 微分方程的应用例 2 抛物线的光学性质．设探照灯的反射镜面是一旋转曲面．由旋转轴上一点发出的光线经镜面反射后都与旋转轴平行，求这旋转曲面的形状．解 取旋转轴为轴，光源所在之处为原点．取通过旋转轴的任意平面为坐标面，这平面截此旋转面得曲线Ｌ如图．设的方程，点为上任一点，光线经反射后为为在点上的切线交轴于点，为在点的法线，根据光线的反射定理，有又设过点的切线与轴的夹角为．则．又因是入射角 的余角，是反射角的余角．于是，从而 注意到 及，， 就得到函数所对应满足的微分方程把看作未知函数，看作自变量．上式为 这是齐次方程，令，则，，代入上式得即 分离变量得， 积分得 ...
