选修4-4坐标系与参数方程第一节坐标系[基础达标]一、选择题(每小题5分,共5分)1.(2015·江西六校联考)在极坐标系中,圆ρ=2sinθ的圆心的极坐标是()A.B.C.(1,0)D.(1,π)A【解析】由ρ=2sinθ,得ρ2=2ρsinθ,则圆ρ=2sinθ的直角坐标方程为x2+y2=2y,所以圆心的直角坐标为(0,1),极坐标是.二、填空题(每小题5分,共20分)2.(2015·揭阳二模)在极坐标系(ρ,θ)(0≤θ<2π)中,曲线ρ(2cosθ-sinθ)=3与ρ(cosθ+2sinθ)=-1的交点的极坐标为.【解析】曲线的直角坐标方程分别为2x-y=3和x+2y=-1,交点的直角坐标为(1,-1),极坐标为.3.在极坐标系中,曲线ρ=2上到直线ρcos=1的距离为1的点的个数是.3【解析】极坐标方程ρ=2转化成直角坐标方程为x2+y2=4,直线ρcos=1转化成直角坐标方程为x+y-=0,则圆心到直线的距离d==1恰好平分圆的半径,所以圆上到直线的距离为1的点的个数为3.4.(2015·上海十二校联考)极坐标系内,O为极点,设点A,B,则三角形AOB的面积为.6【解析】极坐标系内,O为极点,点A,B,∠AOB=,则三角形AOB为直角三角形,它的面积为×3×4=6.5.(2015·广东高考)已知直线l的极坐标方程为2ρsinθ-=,点A的极坐标为A2,则点A到直线l的距离为.【解析】由2ρsin可得2ρsinθcos-2ρcosθsin,整理有y-x=1,即x-y+1=0,而点A2的直角坐标为(2,-2),那么点A到直线l的距离为d=.三、解答题(每小题10分,共20分)6.(2015·苏州调研)在极坐标系中,已知圆ρ=3cosθ与直线2ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切,求实数a的值.【解析】由ρ=3cosθ得ρ2=3ρcosθ,则圆ρ=3cosθ的直角坐标方程为x2+y2=3x,即+y2=,直线2ρcosθ+4ρsinθ+a=0的普通方程为2x+4y+a=0,又圆与直线相切,所以,解得a=-3±3.7.在极坐标系中,已知圆C的圆心C,半径r=3.(1)求圆C的极坐标方程;(2)若Q点在圆C上运动,P在OQ的延长线上,且|OQ|∶|QP|=3∶2,求动点P的轨迹方程.【解析】(1)由已知得圆心C的直角坐标是C,则圆C的直角坐标方程为=9,即为x2+y2-3x-3y=0,化为极坐标方程为ρ2=3ρcosθ+3ρsinθ,化简得ρ=6cos.(2)设点P的极坐标为(ρ,θ),因为点P在OQ的延长线上,且|OQ|∶|QP|=3∶2,所以点Q的坐标为.由于点Q在圆C上,所以ρ=6cos,即ρ=10cos,故点P的轨迹方程为ρ=10cos.[高考冲关]1.(5分)(2015·安徽六校联考)在极坐标方程中,曲线C的方程是ρ=4sinθ,过点作曲线C的切线,切线长为()A.4B.C.2D.2C【解析】曲线C的直角坐标方程为x2+y2=4y,即为x2+(y-2)2=4,点的直角坐标为(2,2),该点到圆心的距离为2,所以切线长为=2.2.(5分)(2014·天津高考)在以O为极点的极坐标系中,圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A,B两点.若△AOB是等边三角形,则a的值为.3【解析】圆ρ=4sinθ的直角坐标方程为x2+y2=4y,即为x2+(y-2)2=4.直线ρsinθ=a的直角坐标方程为y=a.因为△AOB是等边三角形,所以点O到直线y=a的距离是r=3,即a=3.3.(5分)(2015·梅州一模)在极坐标系中,点P到直线l:3ρcosθ-4ρsinθ=3的距离为.1【解析】点P的直角坐标为(0,-2),直线l:3ρcosθ-4ρsinθ=3的直角坐标方程为3x-4y-3=0,利用点到直线的距离公式可得d==1.4.(5分)(2015·怀化三模)在极坐标系中,直线ρsin=2被圆ρ=4截得的弦长为.4【解析】将直线和圆的方程化为直角坐标方程为x+y-2=0和x2+y2=16,则圆心(0,0)到直线的距离d=2,则弦长为2=2=4.5.(10分)(2015·唐山三模)已知半圆C:(x-2)2+y2=4(y≥0),直线l:x-2y-2=0.以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)写出半圆C与直线l的极坐标方程;(2)记A为半圆C直径的右端点,半圆C与直线l交于点M,且M为圆弧AB的中点,求|OB|.【解析】(1)将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入已知,分别得半圆C和直线l的极坐标方程为半圆C:ρ=4cosθ,直线l:ρcosθ-2ρsinθ-2=0.(2)依题意,l经过半圆C的圆心C(2,0).设点B的极角为α,且易知lOB∥l,则tanα=,进而求得cosα=,由C的极坐标方程得|OB|=4cosα=.
