南京市 2025届高三第一次模拟考试(23页)Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善。南京市 2025 届高三第一次模拟考试21. A. 选修 41：几何证明选讲证明：(方法 1)连结 BE.因为 AB 是半圆 O 的直径，E 为圆周上一点，所以∠AEB＝90°，即 BE⊥AD.又 AD⊥l，所以 BE∥l.所以∠DCE＝∠CEB.(5 分)因为直线 l 是圆 O 的切线，所以∠DCE＝∠CBE，所以∠CBE＝∠CEB，所以 CE＝CB.(10 分)(方法 2)连结 AC、BE，在 DC 延长线上取一点 F.因为 AB 是半圆 O 的直径，C 为圆周上一点，所以∠ACB＝90°，即∠BCF＋∠ACD＝90°.又 AD⊥l，所以∠DAC＋∠ACD＝90°.所以∠BCF＝∠DAC.(5 分)又直线 l 是圆 O 的切线，所以∠CEB＝∠BCF.又∠DAC＝∠CBE，所以∠CBE＝∠CEB.所以 CE＝CB.(10分)B. 选修 42：矩阵与变换解：(方法 1)在直线 l：x＋y＋2＝0 上分别取两点 A(－2,0)，B(0，－2)．A、B 在矩阵 M 对应的变换作用下分别对应于点 A′、B′.因为＝，所以 A′的坐标为(－2，－2b)；＝，所以 B′的坐标为(－2a，－8)．(6 分)由题意 A′、B′在直线 m：x－y－4＝0 上，所以解得 a＝2，b＝3.(10 分)(方法 2)设直线 l：x＋y＋2＝0 上任意点(x，y)在矩阵 M 对应的变换作用下对应于点(x′，y′)．因为＝，所以 x′＝x＋ay，y′＝bx＋4y.解得 x＝，y＝.(6 分)因此＋＋2＝0，即(b－4)x′＋(a－1)y′＋(2ab－8)＝0.因为直线 l 在矩阵 M 对应的变换作用下得到直线 m：x－y－4＝0.所以＝＝.解得 a＝2，b＝3.(10 分)C. 选修 44：坐标系与参数方程解：分别将圆 C 和直线 l 的极坐标方程化为直角坐标方程：圆 C：x2＋y2＝10x，即(x－5)2＋y2＝25，圆心 C(5,0)．直线 l：3x－4y－30＝0.(6分)因为圆心 C 到直线 l 的距离 d＝＝3.所以 AB＝2＝8.(10 分)D. 选修 45：不等式选讲解：当 x＞2 时，原不等式同解于 2x－4＜4－x，解得 x＜.所以 2＜x＜；(4 分)当 0≤x≤2 时，原不等式同解于 4－2x＜4－x，解得 x＞0，所以 0＜x≤2；(6 分)当 x＜0 时，原不等式同解于 4－2x＜4＋x，解得 x＞0，所以 x∈∅.(8 分)综上所述，原不等式的解集为.(10 分)22. (1) 证 明 ： 以 点 C 为 原 点 ，CB、CA、CC1所在直线为 x、y、z 轴，建立空间直角坐标系 C—xyz，如图所示，则B(1,0,0)，A(0，，0)，A1(0，，)，M(0,0，)． 所 以 A1B ＝ (1...
