圆锥曲线第三定义及扩展

令狐采学圆锥曲线第三定义令狐采学在椭圆计+* = 1 （"〉〃〉0）中，A, B 两点关于原点对称，P是椭圆上异于 A, B 两点的任意一点，若 S, 5 存在，则◎ •扁=-彳幸。（反之亦成立）cr在双曲线"y（ °＞。上＞°）中，A, B 两点关于原点对称，是椭圆上异于 A, B 两点的任意一点，若尬存在，则，2kpA • kpB =cr★焦点在 Y 轴上时，椭圆满足双曲线满足例、已知椭圆£ +汨心〉。）的长轴长为 4,若点 P 是椭圆上 任意一点，过原点的直线/与椭圆相交与 M、N 两点，记直线为 M、PN 的斜率分别为 Id、k2o若 klxk2=-i 则椭圆的方程 4 变式:1、设点 A, B 的坐标为（-2, 0）, （2, 0）,点 P 是曲线 C 上任 意一点，令狐采学o （反之亦成立）令狐采学且直线 PA 与 PB 的斜率之积为则曲线 C 的方程4为。2、设点 P 是曲线 C 上任意一点，坐标原点是()，曲线 C 与 X 轴相交于两点 M (-2, 0),N(2, 0),直线 PM, PN 的斜率之积为 T，则 10 日的最小值是。3、已知 AABC 的两个顶点坐标分别是(-8, 0), (8, 0),且 AC,BC 所在直线斜率之积为 m (加工 0)，求顶点 C 的轨迹。4、P 是双曲线召-召十>0d>0)上一点，M, N 分别是双曲线的左右顶点，直线 PM, PN 的斜率之积为\则双曲线离心率为。5、已知椭圆耳+$1 的左右顶点分别是 A、B, M 是椭圆上异于 A、B的动点，求证：、.、为定值。6、平面内与两定点 A|(-6/,0) , A2(6/,0)(6/>0)连续的斜率之积等于非零常数〃「的点的轨迹，加上 A、42 两点所成的曲线 C 可以是圆、椭圆成双曲线•求曲线 C 的方程，并讨论 C 的形状与加值得关系；第三定义的应用例、椭圆・+ 的左右顶点分别是 A, B,点 S 是椭圆上位于4X 轴上方的动点，直线 AS, BS 与直线山=罟分别交于点 M、N,求线段 MN 长度的最小值。令狐采学令狐采学变式：已知 A,B 分别为曲线 C:手+于二 1 (y>0,a>0)与 x 轴 的左、右两个交点，直线/过点 B,且与〃轴垂直，S 为/上异于点 B 的一点，连结 AS 交曲线 C 于点 T.⑴ 若曲线 C 为半圆，点 T 为圆弧朋的三等分点，试求出点 S 的坐标；(II)如图，点 M 是以 SB 为直径的圆与线段 TB 的交点，试问：是否存在°，使得(),M,S 三点共线？若存在，求出 a 的值，若不 存在，请说明理由。第三定义的变形 犷耳框架一：已知椭圆导+吊=1(。〉方>0), A, B 是椭圆上的两动点，...