圆锥曲线的第三定义

2025. 1. 23-24 JZX圆锥曲线的第三定义及运用一、椭圆和双曲线的第三定义1.椭圆x y在椭回 C :一 — laAb^O 中，A、B 是关于原点对称的两点，P 是椭圆上异于 A、B 的一 a b2b2点，右 k、k 存在，则有：k k =e2 1=—PA PBPA PBa 2b2证明：构造 APAB 的 PA 边所对的中位线 MO , k k ，由点差法结论：k k =e2 1= 一PA MOMO PBa 2知此结论成立。2.双曲线X2 y2在双曲线 C：曲 b2 1 中，A、B 是关于原点对称的两点，P 是椭圆上异于 A、B 的一点，若、、kPB存在，则有：k k =e2 1=里PA PBa 2证明：只需将椭圆中的 b2全部换成 b2就能将椭圆结论转换成双曲线的结论。1 / 122025. 1. 23-24 JZX与角度有关的问题心目 W 一 >3 一 c X2 V2 〜3例戒一.已知椭圆- 1»"。的离心率。E’A"是椭圆的左右顶点,为椭圆与双曲线x2y2cosT T 1的一个交点'令 PAB= ，APB='则 解答:令PBx = ，由椭圆第三定义可知:tantan=e21=14cos_cos= cos cossin sin1_tantan=3cos 2coscos cossin sin1 tantan"5点评：其实所谓的双曲线方程只是一个障眼法，并不影响题目的解答。两顶点一动点的模型要很快的联想到第三定义，那么剩下的任务就是把题目中的角转化为两直线的倾斜角，把正余弦转化为正切。题目中的正余弦化正切是三角函数的常见考点☆.2 / 122025. 1. 23-24 JZX变式 1-1：（石室中学 2025 级高二下 4 月 18 日周末作业）已知双曲线 C: X2 y2 2025 的左右顶点分别为 A、B, P 为双曲线右支一点，且 PAB =4 APB，求PAB =.解答：tan tan =tan tan5 =e2 1=1点评:与例题 1 实行同样的思路转化角，但对于正切转换的要求较高。两锐角正切乘积为 1 即表示 sina=cos 0,cosc=sin0 两角互余☆，则可解出 a 的值。当然双曲线的题目较于椭圆和抛物线题目考试概率较小，但既然提到了双曲线的第三定义，不妨做一做.三、与均值定理有关的问题例题 2：已知 A、B 是椭圆翌 二 1a〉bA0 长轴的两个端点，M、N 是椭圆上关于 x 轴对称的两 a2 b2点，直线 AM、BN 的斜率分别为 k、k ,且 kk 0 .若 Ik I Ik I 的最小值为 1,则椭圆的离心、率为。1 21 21 1213 / 12令 PAB=0 还，PBA =0,,,则=5 ，由双曲线的第三定义知:22025. 1. 23-24 JZX解答一使三定义+均值）:由题意可作图如下:Ik I Ik I 2jk I Ik =^b=1b=l e=J!I」E W J I 2...