§10.5曲线与方程考点轨迹与轨迹方程6.(2011北京,14,5分)曲线C是平面内与两个定点F1(-1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2(a>1)的点的轨迹.给出下列三个结论:①曲线C过坐标原点;②曲线C关于坐标原点对称;③若点P在曲线C上,则△F1PF2的面积不大于a2.其中,所有正确结论的序号是.答案②③解析设动点M(x,y)到两定点F1,F2的距离的积等于a2,得曲线C的方程为·=a2.∵a>1,故原点坐标不满足曲线C的方程,故①错误.以-x,-y分别代替曲线C的方程中的x,y,其方程不变,故曲线C关于原点对称,即②正确.=|PF1|×|PF2|×sin∠F1PF2=a2·sin∠F1PF2≤a2,故③正确.评析本题考查动点轨迹方程的求法,曲线关于原点对称的判定以及三角形面积公式,考查逻辑推理能力.解题的关键是求出曲线的方程,利用曲线上的点关于原点对称的点仍在曲线上,来判定曲线关于原点对称,本题综合性强,属于难题.7.(2014重庆,21,12分)如图,设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,点D在椭圆上,DF1⊥F1F2,=2,△DF1F2的面积为.(1)求椭圆的标准方程;(2)设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点,求圆的半径.解析(1)设F1(-c,0),F2(c,0),其中c2=a2-b2.由=2得|DF1|==c.从而=|DF1||F1F2|=c2=,故c=1.从而|DF1|=,由DF1⊥F1F2得|DF2|2=|DF1|2+|F1F2|2=,因此|DF2|=.所以2a=|DF1|+|DF2|=2,故a=,b2=a2-c2=1.因此,所求椭圆的标准方程为+y2=1.(2)如图,设圆心在y轴上的圆C与椭圆+y2=1相交,P1(x1,y1),P2(x2,y2)是两个交点,y1>0,y2>0,F1P1,F2P2是圆C的切线,且F1P1⊥F2P2.由圆和椭圆的对称性,易知x2=-x1,y1=y2,|P1P2|=2|x1|.由(1)知F1(-1,0),F2(1,0),所以=(x1+1,y1),=(-x1-1,y1).再由F1P1⊥F2P2得-(x1+1)2+=0.由椭圆方程得1-=(x1+1)2,即3+4x1=0,解得x1=-或x1=0.当x1=0时,P1,P2重合,此时题设要求的圆不存在.当x1=-时,过P1,P2分别与F1P1,F2P2垂直的直线的交点即为圆心C.由F1P1,F2P2是圆C的切线,且F1P1⊥F2P2,知CP1⊥CP2.又|CP1|=|CP2|,故圆C的半径|CP1|=|P1P2|=|x1|=.8.(2013福建,18,13分)如图,在正方形OABC中,O为坐标原点,点A的坐标为(10,0),点C的坐标为(0,10).分别将线段OA和AB十等分,分点分别记为A1,A2,…,A9和B1,B2,…,B9.连结OBi,过Ai作x轴的垂线与OBi交于点Pi(i∈N*,1≤i≤9).(1)求证:点Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在同一条抛物线上,并求该抛物线E的方程;(2)过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M,N,若△OCM与△OCN的面积比为4∶1,求直线l的方程.解析解法一:(1)依题意,过Ai(i∈N*,1≤i≤9)且与x轴垂直的直线方程为x=i,Bi的坐标为(10,i),所以直线OBi的方程为y=x.设Pi的坐标为(x,y),由得y=x2,即x2=10y.所以点Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在同一条抛物线上,且抛物线E的方程为x2=10y.(2)依题意,直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+10.由得x2-10kx-100=0,此时Δ=100k2+400>0,直线l与抛物线E恒有两个不同的交点M,N.设M(x1,y1),N(x2,y2),则因为S△OCM=4S△OCN,所以|x1|=4|x2|.又x1·x2<0,所以x1=-4x2,分别代入①和②,得解得k=±.所以直线l的方程为y=±x+10,即3x-2y+20=0或3x+2y-20=0.解法二:(1)点Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在抛物线E:x2=10y上.证明如下:过Ai(i∈N*,1≤i≤9)且与x轴垂直的直线方程为x=i,Bi的坐标为(10,i),所以直线OBi的方程为y=x.由解得Pi的坐标为,因为点Pi的坐标都满足方程x2=10y,所以点Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在同一条抛物线上,且抛物线E的方程为x2=10y.(2)同解法一.评析本题主要考查抛物线的性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想.9.(2011安徽,21,13分)设λ>0,点A的坐标为(1,1),点B在抛物线y=x2上运动,点Q满足=λ,经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点M,点P满足=λ,求点P的轨迹方程.解析由=λ知Q,M,P三点在同一条垂直于x轴的直线上,故可设P(x,y),Q(x,y0),M(x,x2),则x2-y0=λ(y-x2),即y0=(1+λ)x2-λy.①再设B(x1,y1),由=λ,即(x-x1,y0-y1)=λ(1-x,1-y0),解得②将①式代入②式,消去y0,得③又点B在抛物线y=x2上,所以y1=,再将③式代入y1=.则(1+λ)2x2-λ(1+λ)y-λ=[(1+λ)x-λ]2,(1+λ)2x2-λ(1+λ)y-λ=(1+λ)2x2-2λ(1+λ)x+λ2,2λ(1+λ)x-λ(1+λ)y-λ(1+λ)=0.因λ>0,两边同除以λ(1+λ),得2x-y-1=0.故所求点P的轨迹方程为y=2x-1.评析本题考查直线和抛物线的方程,平面向量的概念,性质与运算,动点的轨迹方程等基础知识,考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力,全面考核综合数学素养.解题关键是利用点的坐标构造方程,本题属于难题.
