4立体几何与空间向量(理)时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2015·青岛市质检)某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是()A．2B．C.D．3[答案]D[解析]依题意，由三视图还原出原几何体的直观图如图所示，原几何体为四棱锥，且其底面积为×2×(1＋2)＝3，高为x，所以其体积V＝×3x＝3，所以x＝3.2．(2015·陕西理，5)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．3πB．4πC．2π＋4D．3π＋4[答案]D[解析]由空间几何体的三视图可知该几何体为竖着放的半个圆柱，圆柱底面半径为1，高为2，所以几何体的表面积S＝2×2＋π×2＋π＝3π＋4.故本题正确答案为D．3．一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积是()A．6B．12C．24D．36[答案]B[解析]由三视图知该几何体为有一条侧棱与底面垂直的四棱锥，体积V＝×(4×3)×3＝12.4．如图，设平面α∩β＝EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别是B、D，如果增加一个条件，就能推出BD⊥EF，这个条件不可能是下面四个选项中的()A．AC⊥βB．AC⊥EFC．AC与BD在β内的射影在同一条直线上D．AC与α、β所成的角相等[答案]D[解析]因为BD是AC在平面α内的射影，所以只需得到AC⊥EF，那么由三垂线定理的逆定理可得BD⊥EF.对于选项A，因为AC⊥β，EF⊂β⇒AC⊥EF⇒BD⊥EF.选项B，因为AC⊥EF，所以BD⊥EF.对于选项C，可得平面ABDC⊥β，所以BD⊥EF.对于选项D，AC与α、β所成的角相等，无法保证AC⊥EF.综上知选D．5．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题不正确的是()A．若m⊥n，m⊥α，n⊄α，则n∥αB．若m⊥β，α⊥β，则m∥α或m⊂αC．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥βD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β[答案]D[解析]对于选项D，当直线m位于平面β内且与平面α，β的交线平行时，直线m∥α，显然m与平面β不垂直，因此选项D不正确．6．已知正四面体A－BCD，设异面直线AB与CD所成的角为α，侧棱AB与底面BCD所成的角为β，侧面ABC与底面BCD所成的角为γ，则()A．α>β>γB．α>γ>βC．β>α>γD．γ>β>α[答案]B[解析]如图，设底面BCD的中心为点O，连接AO，BO，易知∠ABO＝β，取BC的中点E，连接AE、OE，易知∠AEO＝γ，在正三角形BCD中，OB>OE，因此0<β<γ<，延长BO交CD于F，则BF⊥CD，又AO⊥CD，∴CD⊥平面ABF.∴CD⊥AB，即α＝.∴α>γ>β.7．如图，在△ABC中，AB⊥AC，若AD⊥BC，则AB2＝BD·BC；类似地有命题：在三棱锥A－BCD中，AD⊥平面ABC，若A点在平面BCD内的射影为M，则有S＝S△BCM·S△BCD．上述命题是()A．真命题B．增加条件“AB⊥AC”才是真命题C．增加条件“M为△BCD的垂心”才是真命题D．增加条件“三棱锥A－BCD是正三棱锥”才是真命题[答案]A[解析]因为AD⊥平面ABC，所以AD⊥AE，AD⊥BC，在△ADE中，AE2＝ME·DE，又A点在平面BCD内的射影为M，所以AM⊥平面BCD，AM⊥BC，所以BC⊥平面ADE，所以BC⊥DE，将S△ABC、S△BCM、S△BCD分别表示出来，可得S＝S△BCM·S△BCD，故选A.8．(2015·德州市期末)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝3，AA1＝2，点P是B1C的三等分点且靠近点C，则异面直线AP和DD1所成的角为()A.B．C．D．[答案]C[解析]如图，过点P作PN⊥BC于点N，连接AN，则PN∥BB1，而DD1∥BB1，所以DD1∥PN，所以∠APN就是异面直线AP和DD1所成的角．因为点P是B1C的三等分点且靠近点C，且AB＝2，AD＝3，AA1＝2，所以PN＝BB1＝，BN＝BC＝2.在Rt△ABN中，AN＝2，在Rt△ANP中，tan∠APN＝＝＝，所以∠APN＝.9．(2015·浙江文，7)如图，斜线段AB与平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α上的动点P满足∠PAB＝30°，则点P的轨迹是()A．直线B．抛物线C．椭圆D．双曲线的一支[答案]C[解析]考查1.圆锥曲线的定义；2.线面位置关系．由题可知，当P点运动时，在空间中，满足条件的AP绕AB旋转形成一个圆锥，用一个与圆锥高成60°角的平面截圆锥，所得图形为椭圆．故选C.10．(2015·济南市模拟)类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论：...
