解答题滚动练31.(2017·日照模拟)已知函数f(x)＝sin2x－2cos2x－1，x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期和最小值；(2)在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝，f(C)＝0，sinB＝2sinA，求a，b的值.解(1)f(x)＝sin2x－2cos2x－1＝sin2x－(cos2x＋1)－1＝sin2x－cos2x－2＝2sin－2，所以f(x)的最小正周期T＝＝π，最小值为－4.(2)因为f(C)＝2sin－2＝0，所以sin＝1.又C∈(0，π)，2C－∈，所以2C－＝，得C＝.因为sinB＝2sinA，由正弦定理，得b＝2a，由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋4a2－2a2＝3a2，又c＝，所以a＝1，b＝2.2.某工厂的污水处理程序如下：原始污水必先经过A系统处理，处理后的污水(A级水)达到环保标准(简称达标)的概率为p(0＜p＜1).经化验检测，若确认达标便可直接排放；若不达标则必须进行B系统处理后直接排放.某厂现有4个标准水量的A级水池，分别取样、检测.多个污水样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验.混合样本中只要有样本不达标，则混合样本的化验结果必不达标.若混合样本不达标，则该组中各个样本必须再逐个化验；若混合样本达标，则原水池的污水直接排放.现有以下四种方案：方案一：逐个化验；方案二：平均分成两组化验；方案三：三个样本混在一起化验，剩下的一个单独化验；方案四：混在一起化验.化验次数的期望值越小，则方案越“优”.(1)若p＝，求2个A级水样本混合化验结果不达标的概率；(2)若p＝，现有4个A级水样本需要化验，请问：方案一，二，四中哪个最“优”？(3)若“方案三”比“方案四”更“优”，求p的取值范围.解(1)该混合样本达标的概率是2＝，所以根据对立事件原理，不达标的概率为1－＝.(2)方案一：逐个检测，检测次数为4.方案二：由(1)知，每组两个样本检测时，若达标则检测次数为1，概率为；若不达标则检测次数为3，概率为.故方案二的检测次数记为ξ2，ξ2的可能取值为2，4，6.其分布列如下，ξ2246P2C××2可求得方案二的期望为E(ξ2)＝2×＋4×＋6×＝，方案四：混在一起检测，记检测次数为ξ4，ξ4可取1，5.其分布列如下，ξ415P41－4可求得方案四的期望为E(ξ4)＝1×＋5×＝.比较可得E(ξ4)＜E(ξ2)＜4，故选择方案四最“优”.(3)方案三：设化验次数为η3，η3可取2，5.η325Pp31－p3E(η3)＝2·p3＋5(1－p3)＝5－3p3；方案四：设化验次数为η4，η4可取1，5.η415Pp41－p4E(η4)＝1·p4＋5(1－p4)＝5－4p4；由题意得E(η3)＜E(η4)⇔5－3p3＜5－4p4⇔p＜.故当0＜p＜时，方案三比方案四更“优”.3.如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面ABB1A1为菱形且∠BAA1＝60°，D，M分别为CC1和A1B的中点，A1D⊥CC1，AA1＝A1D＝2，BC＝1.(1)证明：直线MD∥平面ABC；(2)求二面角B－AC－A1的余弦值.方法一(1)证明连接A1C， A1D⊥CC1，且D为中点，AA1＝A1D＝2，∴A1C＝A1C1＝＝AC，又BC＝1，AB＝BA1＝2，∴CB⊥BA，CB⊥BA1，又BA∩BA1＝B，∴CB⊥平面ABB1A1，取AA1的中点F，则BF⊥AA1，即BC，BF，BB1两两互相垂直，以B为原点，BB1，BF，BC所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图，∴B1，C，A，A1，C1，D，M，MD＝，设平面ABC的法向量为m＝(x，y，z)，则取m＝(，1，0)， m·MD＝－＋0＝0，∴m⊥MD，又MD⊄平面ABC，∴直线MD∥平面ABC.(2)解设平面ACA1的法向量为n＝，AC＝，AA1＝，则取n＝，又由(1)知平面ABC的法向量为m＝，设二面角B－AC－A1为θ，θ为锐角，∴cosθ＝＝＝.方法二(1)证明如图，取AB的中点N，连接MN，CN，则有MN綊AA1綊CD，∴四边形MNCD为平行四边形，∴MD∥NC，又MD⊄平面ABC，NC⊂平面ABC，∴直线MD∥平面ABC.(2)解由各棱长易得BC⊥BA，BC⊥BA1，∴BC⊥平面ABB1A1，如图所示，取AB的中点N，连接A1N，过N作NH⊥AC于H，连接HA1. BC⊥A1N，AB⊥A1N，AB∩BC＝B，∴A1N⊥平面ABC，∴A1N⊥AC，又 NH⊥AC，NH∩A1N＝N，∴AC⊥平面A1NH，∴A1H⊥AC，故∠NHA1为所求的二面角的平面角，在Rt△A1NH中，由△ANH∽△ACB，得NH＝，AH＝，则A1H＝，故cos∠NHA1＝＝＝，故所求的二面角的余弦值为.4.已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，过点E(－，0)的椭圆的两条切线相互垂直.(1)求此椭圆的方程；(2)...
