解答题滚动练51.(2017·北京)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA＝PD＝，AB＝4.(1)求证：M为PB的中点；(2)求二面角B－PD－A的大小；(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.(1)证明设AC，BD交于点E，连接ME，如图.因为PD∥平面MAC，平面MAC∩平面PDB＝ME，所以PD∥ME.因为四边形ABCD是正方形，所以E为BD的中点，所以M为PB的中点.(2)解取AD的中点O，连接OP，OE.因为PA＝PD，所以OP⊥AD，又因为平面PAD⊥平面ABCD，且OP⊂平面PAD，所以OP⊥平面ABCD.因为OE⊂平面ABCD，所以OP⊥OE.因为四边形ABCD是正方形，所以OE⊥AD.如图，建立空间直角坐标系Oxyz，则P(0，0，)，D(2，0，0)，B(－2，4，0)，BD＝(4，－4，0)，PD＝(2，0，－).设平面BDP的法向量n＝(x，y，z)，则即令x＝1，则y＝1，z＝.于是n＝(1，1，).平面PAD的法向量为p＝(0，1，0)，所以cos〈n，p〉＝＝.由题意知二面角B－PD－A为锐角，所以它的大小为.(3)解由题意知M，C(2，4，0)，MC＝.设直线MC与平面BDP所成的角为α，则sinα＝|cos〈n，MC〉|＝＝，所以直线MC与平面BDP所成角的正弦值为.2.(2017·安徽太和中学模拟)新一届班委会的7名成员有A，B，C三人是上一届的成员，现对7名成员进行如下分工.(1)若正、副班长两职只能由A，B，C三人中选两人担任，则有多少种分工方案？(2)若A，B，C三人不能再担任上一届各自的职务，则有多少种分工方案？解(1)先确定正、副班长，有A种选法，其余全排列有A种，共有AA＝720(种)分工方案.(2)方法一设A，B，C三人的原职务分别是a，b，c，当ABC任意一人都不担任abc职务时有AA种；当ABC中一人担任abc中的职务时，有CAAA种；当ABC中两人担任abc中的职务时，有3CAAA种；当ABC中三人担任abc中的职务时，有2A种；故共有AA＋CAAA＋3CAA＋2A＝134A＝3216(种)分工方案.方法二担任职务总数为A种，当A担任原职务时有A种，同理BC各自担任原职务时也各自有A种，而当AB，BC，CA同时担任原职务时各有A种；当ABC同时担任原职务时有A种，故共有A－3A＋3A－A＝134A＝3216(种)分工方案.3.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋2，数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn＝2－bn.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)设cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn.解(1)因为a1＝1，an＋1－an＝2，所以{an}是首项为1，公差为2的等差数列，所以an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.又当n＝1时，b1＝S1＝2－b1，所以b1＝1，当n≥2时，Sn＝2－bn，①Sn－1＝2－bn－1，②由①－②，得bn＝－bn＋bn－1，即＝，所以{bn}是首项为1，公比为的等比数列，故bn＝n－1.(2)由(1)知cn＝anbn＝，则Tn＝＋＋＋…＋，③Tn＝＋＋…＋＋，④③－④得Tn＝＋＋…＋－＝1＋1＋＋…＋－＝1＋－＝3－.所以Tn＝6－.4.已知椭圆的两个焦点为F1(－，0)，F2(，0)，M是椭圆上一点，若MF1·MF2＝0，|MF1|·|MF2|＝8.(1)求椭圆的方程；(2)直线l过右焦点F2(，0)(不与x轴重合)且与椭圆相交于不同的两点A，B，在x轴上是否存在一个定点P(x0，0)，使得PA·PB的值为定值？若存在，写出P点的坐标(不必求出定值)；若不存在，请说明理由.解(1)由题意，c＝，|MF1|2＋|MF2|2＝4c2＝20，|MF1|·|MF2|＝8，∴(|MF1|＋|MF2|)2＝|MF1|2＋|MF2|2＋2|MF1|·|MF2|＝36，解得|MF1|＋|MF2|＝6，即2a＝6，∴a＝3，b2＝a2－c2＝4，∴椭圆的方程为＋＝1.(2)方法一设直线l的方程为x＝my＋，代入椭圆方程并消元整理得(4m2＋9)x2－18x＋45－36m2＝0.①设A(x1，y1)，B(x2，y2)是方程①的两个解，由根与系数的关系得x1＋x2＝，x1x2＝，则y1y2＝(x1－)(x2－)＝＝，PA·PB＝(x1－x0，y1)·(x2－x0，y2)＝(x1－x0)(x2－x0)＋y1y2＝x1x2－x0(x1＋x2)＋x＋y1y2＝－x0＋x＋＝，令PA·PB＝t，则(4x－36)m2＋9x－18x0＋29＝t(4m2＋9)，比较系数得4x－36＝4t且9x－18x0＋29＝9t，消去t得36x－36×9＝36x－72x0＋29×4，解得x0＝.∴在x轴上存在一个定点P，使得PA·PB的值为定值－.方法二当直线与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x－)(k≠0)，代入椭圆方程并消元整理得(9k2＋4)x2－18k2x＋45k2－36＝0，①设A(x1，y1)，B(x2，y2)是方程①的两个解，由根与系数的关系得x...
