解答题滚动练51
(2017·北京)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA＝PD＝，AB＝4
(1)求证：M为PB的中点；(2)求二面角B－PD－A的大小；(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值
(1)证明设AC，BD交于点E，连接ME，如图
因为PD∥平面MAC，平面MAC∩平面PDB＝ME，所以PD∥ME
因为四边形ABCD是正方形，所以E为BD的中点，所以M为PB的中点
(2)解取AD的中点O，连接OP，OE
因为PA＝PD，所以OP⊥AD，又因为平面PAD⊥平面ABCD，且OP⊂平面PAD，所以OP⊥平面ABCD
因为OE⊂平面ABCD，所以OP⊥OE
因为四边形ABCD是正方形，所以OE⊥AD
如图，建立空间直角坐标系Oxyz，则P(0，0，)，D(2，0，0)，B(－2，4，0)，BD＝(4，－4，0)，PD＝(2，0，－)
设平面BDP的法向量n＝(x，y，z)，则即令x＝1，则y＝1，z＝
于是n＝(1，1，)
平面PAD的法向量为p＝(0，1，0)，所以cos〈n，p〉＝＝
由题意知二面角B－PD－A为锐角，所以它的大小为
(3)解由题意知M，C(2，4，0)，MC＝
设直线MC与平面BDP所成的角为α，则sinα＝|cos〈n，MC〉|＝＝，所以直线MC与平面BDP所成角的正弦值为
(2017·安徽太和中学模拟)新一届班委会的7名成员有A，B，C三人是上一届的成员，现对7名成员进行如下分工
(1)若正、副班长两职只能由A，B，C三人中选两人担任，则有多少种分工方案
(2)若A，B，C三人不能再担任上一届各自的职务，则有多少种分工方案
解(1)先确定正、副班长，有A种选法，其余全排列有A种，共有AA＝720(种)分工方案
(2)方法一设A，B，C三人的原职务分别是a，b
