解答题滚动练61.已知函数f(x)＝cos2x＋2sin2x＋2sinx.(1)将函数f(2x)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象，若x∈，求函数g(x)的值域；(2)已知a，b，c分别为△ABC中角A，B，C的对边，且满足b＝2，B∈，f(A)＝＋1，a＝2bsinA，求△ABC的面积.解f(x)＝cos2x＋2sin2x＋2sinx＝cos2x＋(1－cos2x)＋2sinx＝1＋2sinx.(1)平移可得g(x)＝2sin＋1，∵x∈，∴2x－∈，当x＝时，g(x)min＝0；当x＝时，g(x)max＝3，∴所求值域为[0，3].(2)由已知a＝2bsinA及正弦定理，得sinA＝2sinBsinA，∴sinB＝.∵0＜B＜，∴B＝，由f(A)＝＋1，得sinA＝，由正弦定理，得a＝＜b，从而A＝，∴S△ABC＝absinC＝××2×＝.2.在等差数列{an}中，公差d≠0，a1＝1，且a1，a2，a5成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.解(1)由a1，a2，a5成等比数列知，a＝a1a5，即(a1＋d)2＝a1(a1＋4d)，即d2＝2a1d，又d≠0，a1＝1，解得d＝2，故an＝2n－1.(2)bn＝，则Tn＝＋＋＋…＋，①由①式两边×，有Tn＝＋＋＋…＋，②由①－②，得Tn＝＋＋＋…＋－⇒Tn＝＋－，化简得Tn＝1－.3.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AP＝AB＝AC＝a，AD＝a，PA⊥底面ABCD.(1)求证：平面PCD⊥平面PAC；(2)在棱PC上是否存在一点E，使得二面角B－AE－D的平面角的余弦值为－？若存在，求出λ＝的值；若不存在，请说明理由.(1)证明在△ACD中，AC＝a，CD＝a，AD＝a，由勾股定理得CD⊥AC，∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD，又AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.又∵CD⊂平面PCD，∴平面PCD⊥平面PAC.(2)解由(1)知，AB⊥AC，又PA⊥底面ABCD，∴以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示坐标系，则A(0，0，0)，B(a，0，0)，C(0，a，0)，D(－a，a，0)，P(0，0，a)，假设点E(xE，yE，zE)存在，且λ＝，则CE＝λCP，即(xE，yE－a，zE)＝λ(0，－a，a)，∴xE＝0，yE＝(1－λ)a，zE＝λa.∴AB＝(a，0，0)，AE＝(0，(1－λ)a，λa)，AD＝(－a，a，0).设平面BAE的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，平面DAE的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则∴n1＝(0，λ，λ－1)，n2＝(λ，λ，λ－1)，cos〈n1，n2〉＝＝＝＝，由题意|cos〈n1，n2〉|＝，即＝，3(2λ2－2λ＋1)＝2(3λ2－2λ＋1)，∴λ＝.∴棱PC上存在一点E，使得二面角B－AE－D的平面角的余弦值为－，且此时λ＝.4.对于函数f(x)和g(x)，若存在常数k，m，对于任意x∈R，不等式f(x)≥kx＋m≥g(x)都成立，则称直线y＝kx＋m是函数f(x)，g(x)的分界线.已知函数f(x)＝ex(ax＋1)(e为自然对数的底数，a∈R为常数).(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)设a＝1，试探究函数f(x)与函数g(x)＝－x2＋2x＋1是否存在“分界线”？若存在，求出分界线方程；若不存在，请说明理由.解(1)∵f(x)＝ex(ax＋1)，∴f′(x)＝ex(ax＋a＋1)，∴当a＝0时，f′(x)＞0，∴f(x)在R上单调递增.当a≠0时，f′(x)＝aex，当a＞0时，在上，f′(x)＜0，∴f(x)单调递减；在上，f′(x)＞0，∴f(x)单调递增.当a＜0时，在上，f′(x)＞0，∴f(x)单调递增；在上，f′(x)＜0，∴f(x)单调递减.(2)假设存在直线y＝kx＋m，使不等式ex(x＋1)≥kx＋m≥－x2＋2x＋1，当x＝0时，由于1≥m≥1，∴m＝1，∴kx＋1≥－x2＋2x＋1恒成立，∴x2＋(k－2)x≥0恒成立.令Δ＝(k－2)2≤0，解得k＝2，∴只需不等式ex(x＋1)≥2x＋1恒成立即可.设h(x)＝ex(x＋1)－2x－1，则h′(x)＝ex(x＋2)－2，令(h′(x))′＝ex(x＋3)＝0，得x＝－3，∴当x＜－3时，h′(x)单调递减；当x＞－3时，h′(x)单调递增，且h′(0)＝0，当x→－∞时，h′(x)→－2，∴当x＜0时，h′(x)＜0，∴h(x)单调递减；当x＞0时，h′(x)＞0，∴h(x)单调递增.∴h(x)min＝h(0)＝0.∴h(x)＝ex(x＋1)－2x－1≥0，∴不等式ex(x＋1)≥2x＋1恒成立.综上所述，函数f(x)与函数g(x)存在分界线，其分界线方程为y＝2x＋1.
