专题 24.21 圆的切线证明方法专题（知识讲解）在圆这一章中，圆与直线的位置关系很重要。直线与圆有三种位置关系，分别为相离、相切与相交，尤其是相切，不仅要掌握基本定义外，还需要掌握切线的性质定理与判定定理。证明切线的方法有四种，我们需要熟练掌握两种证明切线的技巧，其中有三种思路也需要理解。方法一：有点（点在圆上）连线，证垂直已知（切）点（该点在未确定前不能称之为切点），即当直线与圆有公共点时，选择作半径，即连接圆心与该公共点，证明垂直，常见证明垂直的思路有三种。思路一：利用两个锐角互余证明垂直；思路二：利用全等证明垂直；思路三：利用勾股定理的逆定理证明垂直；思路四：利用等腰三角形的性质证明垂直。这三种思路在证明垂直时能经常用到，当选择用“作半径，证垂直”时可以考虑用这三种思路。方法二：无点（点不确定在圆上），作垂直，证相等当切点未知时，选择作半径，即过圆心作直线的垂线，证明垂线段的长度等于圆的半径。【典型例题】类型一、有点连线、证垂直1．如图，AC 是□ABCD 的对角线，．O 是 BC 垂直平分线与 AC 的交点，以点 O 为圆心，OC 长为半径作⊙O．求证：AB 为⊙O 的切线． 【分析】连接 BO，并延长 BO 交 CD 于 E，由 O 在 BC 垂直平分线上，得到，即 OB 是⊙O 的半径．再运用平行四边形性质及，证明，从而证得 AB 为⊙O 的切线．证明：连接 BO，并延长 BO 交 CD 于 E， O 在 BC 垂直平分线上，∴，∴OB 是⊙O 的半径，， AC 是□ABCD 的对角线，∴，，∴，，， ，∴，∴，∴，∴，∴，∴，又 OB 是⊙O 的半径，∴AB 为⊙O 的切线．【点拨】本题考查了切线的判定，运用垂直平分线性质、平行四边形的性质及已知角的等量关系证得是解题的关键．举一反三：【变式 1】 如图，AB 是的直径，点 C 是圆上一点，于点 D，点 E 是圆外一点，CA 平分．求证：CE 是的切线． 【分析】先根据题意可知∠CAD+∠ACD=90°，由角平分线定义得∠ACE=∠ACD，再根据“等边对等角”得∠CAO=∠ACO，进入得出∠ACE+∠ACO=90°，可知∠ECO=90°，即可得出答案．解：在 Rt△ACD 中，∠CAD+∠ACD=90°． CA 平分∠ECD，∴∠ACE=∠ACD． AO=CO，∴∠CAO=∠ACO，∴∠ACE+∠ACO=90°，∴∠ECO=90°，∴CE⊥CO，∴CE 是圆 O 的切线．【点拨】本题主要考查了切线的证明，掌握切线的判定定理是解题的关键．【变式 2】如图，在△ABC 中，∠C...
