专题 02 中点四大模型在三角形中应用（知识解读）【专题说明】 线段中点是几何部分一个非常重要的概念，和后面学习的中线，中位线等概念有着密切的联系.在几何证明题中也屡次出现.那么，如果在题中遇到中点你会想到什么？等腰三角形三线合一；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；还是中位线定理？今天我们重点探究“倍长中线”法以及平行线间夹中点时延长中线交平行等的应用。【方法技巧】模型 1 ：倍长中线法如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线. 当题中出现中线时，我们经常根据需要将 AD 延长，使延长部分和中线相等，这种方法叫做“倍长中线”.如下图：此时，易证△ACD≌EDB，进而得到 AC=BE 且 AC//BE. 模型 2：平行线夹中点如图，AB//CD，点 E 是 BC 的中点.可延长 DE 交 AB 于点 F. 模型 3：中位线如图，在△ABC 中，点 D 是 AB 边的中点.可作另一边 AC 的中点，构造三角形中位线.如下图所示：由中位线的性质可得，DE//BC 且 DE=1/2BC. 模型 4：连接直角顶点，构造斜中定理 【典例分析】【模型 1 倍长中线法】【典例 1】【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图 1，△ABC 中，若 AB＝8，AC＝6，求 BC 边上的中线 AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 AD 到点 E，使 DE＝AD，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB 的理由是 ．A．SSS B．SAS C．AAS D．HL（2）求得 AD 的取值范围是 ．A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】（3）如图 2，AD 是△ABC 的中线，BE 交 AC 于 E，交 AD 于 F，且 AE＝EF．求证：AC＝BF．【变式 1-1】（1）在△ABC 中，AB＝5，AC＝3，求 BC 边上的中线 AD 的取值范围．（2）受到（1）启发，请你证明下面的问题：如图，在△ABC 中，D 是 BC 边上的中点，DE⊥DF，DE 交 AB 于点 E，DF 交 AC 于点 F，连接 EF．求证：BE+CF＞EF.【变式 1-2】如图，在△ABC 中，已知：点 D 是 BC 中点，连接 AD 并延长到点 E，连接BE．（1）请你添加一个条件使△ACD≌△EBD，并给出证明．（2）若 AB＝5，AC＝3，求 BC 边上的中线 AD 的取值范围．【变式 1-3】阅读下面...
