专题 10 截长补短模型综合应用（知识解读）【专题说明】 “截长补短”是几何证明题中十分重要的方法，通常用来证明几条线段的数量关系，即若题目条件或结论中含有“a＋b＝c”的条件，需要添加辅助线时可以考虑“截长补短”的方法。【方法技巧】 常见类型及常规解题思路：① 可采取直接截长或补短，绕后进行证明。或者化为类型②证明。② 可以将与 构建在一个三角形中，然后证明这个三角形为特殊三角形，如等边三角形，等腰直角三角形，或一个角为的直角三角形等。截长法常规辅助线：（1）过某一点作长边的垂线（2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。补短法常规辅助线：（1）延长短边。（2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起 【典例分析】【典例 1】模型分析当题目中出现线段的和差关系时，考虑用截长补短法，该类题日中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，采用截长补短法进行证明．问题：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，且∠B＝2∠C，求证：AB+BD＝AC．截长法：在 AC 上截取 AE＝AB，连接 DE，证明 CE＝BD 即可．补短法：延长 AB 至点 F，使 AF＝AC，连接 DF，证明 BF＝BD 即可．请结合右边的证明结论．求证：AB+BD＝AC．请结合右边的【模型分析】证明结论．求证：AB+BD＝AC．【截长法】 【补短法】【变式 1】如图，△ABC 为等边三角形，D 为△ABC 外一点，连接 AD，BD，CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，求证：AD＝BD+CD．【变式 2】如图，Rt△ABC 中，AC＝BC，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，CE⊥AD 交 AD 于F 点，交 AB 于点 E．求证：AD＝2DF+CE．【变式 3】如图，△ABC 内接于⊙O，AC＝BC，CD 是⊙O 的一条弦，且＝，过点 A作 AP⊥CD，分别交 CD，⊙O 于点 E，P，连接 BP，若 CD＝6，△ABP 的周长为 13，求 AE 的长．【变式 4】如图，在△ABC 中，AB＝AC，在 AB 左侧作∠BDC＝∠BAC＝α，过点 A 作AE⊥DC 于点 E．（1）当 α＝90°时，① 求证：AE＝DE；② 若 BD＝AE＝2，请求出△ABC 的面积；（2）当 α≠90°时，求证：BD+DE＝EC．【变式 5】【问题背景】如图①，在边长为 1 的正方形 ABCD 中，点 E 为射线 BC 上的一个动点（与点 B，C 不重合），连接 AE，过点 E 作 EF⊥AE，与正方形 ABCD 的外角∠DCG 的平分线交于点F．李老师指出，当点 E 为线段 BC 的中点时，AE＝EF．【初步探索】...
