第二章 方程与不等式第 7 课 一元二次方程1. 一元二次方程 ax2 ＋ bx ＋ c ＝ 0(a≠0) ： (1) 常用的解法：配方法、因式分解法、公式法． (2) 求根公式： ____________________ .一、考点知识 2.b2 － 4ac 叫做一元二次方程 ax2 ＋ bx ＋ c ＝ 0(a≠0) 的根的判别式 :(1) 当 b2 － 4ac ＞ 0 时，方程有两个不等的实数根．(2) 当 b2 － 4ac ＝ 0 时，方程 ____________________ ． (3) 当 b2 － 4ac<0 时，方程 ________________ ．(4) 当方程有两个实数根时， b2 － 4ac 与 0 大小比较：__________ ．有两个相等的实数根3. 方程 ax2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 的两个实数根为x1 ， x2 ，则12xx12xx______________224402bbacxbaca 没有实数根b2 － 4ac≥0baca【例 1 】解下列方程：(1)4x2 － 2x － 1 ＝ 0 ； (2)(x ＋ 4)2 ＝ 2x ＋ 8.【考点 1 】解一元二次方程二、例题与变式解： (1) 提示 : 用求根公式法求解 .(2) 方法一：方程化为一般形式，得 x2+6x+8=0. 配方得 (x+3)2=1. 开方得 x+3=±1. 解得 x1= － 2, x2= － 4. 方法二：用因式分解法求解 . 方程变形为 (x+4)2=2(x+4). 移项 , 得 (x+4)2 － 2(x+4)=0. 方程左边分解因式得 (x+4)(x+4 － 2)=0. 解得 x1= － 2, x2= － 4.121515 .44xx，【变式 1 】解下列方程： (x ＋ 1)2 － 5(x ＋ 1) ＝ 0.解： x1= － 1 ， x2=4. 提示 : 用因式分解法求解 .【考点 2 】一元二次方程根的判别式【例 2 】如果一元二次方程 mx2 － 4x ＋ 1 ＝ 0有两个不等的实数根，求 m 的取值范围．解：方程有两个不相等的实数根， ∴(-4)2 － 4m ＞ 0, 即－ 4m ＞－ 16. 解得 m ＜ 4 ． 又 二次项系数 m≠0. m∴的取值范围是 m ＜ 4 且m≠0.【变式 2 】关于 x 的一元二次方程 (x － 2)(x － 3) ＝m2 ，m 为实数．求证：该方程有两个不等的实数根．解：方程化为一般形式 x2 － 5x+(6 － m2)=0, 根的判别式 =( － 5)2 － 4(6 － m2)=1+4m2, m 为实数，∴ 1+4m2>0, ∴ 方程有两个不等的实数根 .【考点 3 】一元二次方程根与系数关系【例 3 】关于 x 的一元二次方程 x2 ＋ 2x ＋ k ＋1 ＝ 0 的实数根是 x1 和 x2.(1) 求 k 的取值范围...
