模板 3 数列问题(满分 15 分)已知{an}是公差为 3 的等差数列，数列{bn}满足 b1＝1，b2＝，anbn＋1＋bn＋1＝nbn.(1)求{an}的通项公式；(2)求{bn}的前 n 项和.满分解答得分说明解题模板解 (1)由已知，a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝，∴a1＝2， (3 分)所以数列{an}是首项为 2，公差为 3 的等差数列， (6 分)因此{an}的通项公式 an＝2＋3(n－1)＝3n－1. (7分)① 牢记等差、等比数列的定义 ：在判断数列为等差或等比数列时，应根据定义进行判断，所以熟练掌握定义是解决问题的关键，如本题第(2)问，要根据定义判断＝.② 注意利用第 (1) 问的结果 ：在题设条件下，如果第(1)问的结果第(2)问能用得上，可以直接用，有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决，如本题即是在第(1)问的基础上求得 bn＋1与 bn的关系.第一步：将 n＝1 代入关系式 anbn＋1＋bn＋1＝nbn，求出a1的值；第二步：利用等差数列的通项公式求出 an；第三步：将第(1)问中求得的 an代入关系式 anbn＋1＋bn＋1＝nbn，求得 bn＋1与 bn的关系；第四步：判断数列{bn}为等比数列；第五步：代入等比数列的前 n 项和公式求 Sn.第六步：反思检验，规范解题步骤.(2)由(1)和 anbn＋1＋bn＋1＝nbn，得 bn＋1＝＝≠0，则＝， (11 分)因此数列{bn}是首项为 1，公比为的等比数列， (12 分)设数列{bn}的前 n 项和为Sn，则Sn＝＝－. (15 分)③ 写全得分关键：写清解题过程的关键点，有则给分，无则没有分，同时解题过程中计算准确，是得分的根本保证．如本题第(1)问要写出 a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝，才能得出 a1，并指出数列{an}的性质，否则不能得全分．第(2)问中一定要写出求 bn＋1＝的步骤并要指明{bn}的性质；求 Sn时，必须代入求和公式而不能直接写出结果，否则要扣分.【训练 3】 (2016·浙江卷)设数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 S2＝4，an ＋ 1＝2Sn＋1，n∈N*.(1)求通项公式 an；(2)求数列{|an－n－2|}的前 n 项和．解 (1)由题意得则又当 n≥2 时，由 an＋1－an＝(2Sn＋1)－(2Sn－1＋1)＝2an，得 an＋1＝3an，同时 a2＝3a1，∴数列{an}的通项公式为 an＝3n－1，n∈N*.(2)设 bn＝|3n－1－n－2|，n∈N*，则 b1＝2，b2＝1.当 n≥3 时，由于 3n－1>n＋2，故 bn＝3n－1－n－2，n≥3.设数列{bn}的前 n 项和为 Tn，则 T1＝2，T2＝3，当 n≥3 时，Tn＝3＋－＝，此时 T2符合，T1不符合，∴Tn＝
