第 3 讲 空间角[考情考向分析] 以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点，热点为异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角的求解，向量法作为传统几何法的补充，为考生答题提供新的工具．热点一 异面直线所成的角(1)几何法：按定义作出异面直线所成的角(即找平行线)，解三角形．(2)向量法：设直线 l，m 的方向向量分别为 a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)．设 l，m 的夹角为 θ，则 cos θ＝＝.例 1 (1)(2018·全国Ⅱ)在长方体 ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线 AD1与 DB1所成角的余弦值为( )A. B. C. D.答案 C解析 方法一 如图，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 的一侧补上一个相同的长方体 A′B′BA－A1′B1′B1A1.连接 B1B′，由长方体性质可知，B1B′∥AD1，所以∠DB1B′为异面直线 AD1与DB1所成的角或其补角．连接 DB′，由题意，得 DB′＝＝，B′B1＝＝2，DB1＝＝.在△DB′B1中，由余弦定理，得DB′2＝B′B＋DB－2B′B1·DB1·cos∠DB1B′，即 5＝4＋5－2×2cos∠DB1B′，∴cos∠DB1B′＝.故选 C.方法二 如图，以点 D 为坐标原点，分别以 DA，DC，DD1所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 D－xyz.由题意，得 A(1,0,0)，D(0,0,0)，D1(0,0，)，B1(1,1，)，∴AD1＝(－1,0，)，DB1＝(1,1，)，∴AD1·DB1＝－1×1＋0×1＋()2＝2，|AD1|＝2，|DB1|＝，∴cos〈AD1，DB1〉＝＝＝.故选 C.(2)(2018·浙江省杭州二中月考)已知异面直线 a，b 所成的角为 50°，过空间一定点 P 最多可作 n 条直线与直线 a，b 均成 θ 角，则下列判断不正确的是( )A．当 θ＝65°时，n＝3 B．当 n＝1 时，θ 只能为 25°C．当 θ＝30°时，n＝2 D．当 θ＝75°时，n＝4答案 B解析 将空间直线平移，异面直线的夹角不变，则可将异面直线 a，b 平移到同一平面 α 内，使得点 P 为平移后的直线 a′，b′的交点，则当 0°≤θ<25°时，n＝0；当 θ＝25°时，n＝1，此时该直线为直线 a′，b′所成锐角的角平分线所在的直线；当 25°<θ<65°时，n＝2，此时这两条直线在平面 α 内的投影为直线 a′，b′所成锐角的角平分线所在的直线当 θ＝65°时，n＝3，此时其中两条直线在平面 α 内的投影为直线 a′，b′所成锐角的角平分线所在的直线，另一条直线为直线 a′，b′所成钝角的角平分线所在的直线；当65°<θ<90°时，n＝4，此时其中两条直线在平面 α 内的投影...
