（课标通用）高考数学一轮复习 第六章 数列 6.3 等比数列及其前n项和学案 理-人教版高三全册数学学案

§6.3 等比数列及其前 n 项和考纲展示► 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系.考点 1 等比数列的判定与证明1.等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第________项起，每一项与它的前一项的比等于________(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的________，通常用字母 q 表示，定义的表达式为＝q.(2)等比中项：如果 a，G，b 成等比数列，那么________叫做 a 与 b 的等比中项．即 G 是 a 与 b 的等比中项⇔a，G，b 成等比数列⇔________.答案：(1)2 同一个常数 公比 (2)G G2＝ab2．等比数列的有关公式(1)通项公式：an＝________.(2)前 n 项和公式：Sn＝答案：(1)a1qn－1 (2)na1[典题 1] 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，在数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且 an＋Sn＝n.(1)设 cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；(2)求数列{bn}的通项公式．(1)[证明] an＋Sn＝n，①∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1.②②－①，得 an＋1－an＋an＋1＝1，∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，∴＝，∴{an－1}是等比数列．又 a1＋a1＝1，∴a1＝，又 cn＝an－1，∴c1＝a1－1＝－.∴{cn}是以－为首项，以为公比的等比数列．(2)[解] 由(1)可知，cn＝·n－1＝－n，∴an＝cn＋1＝1－n.∴当 n≥2 时，bn＝an－an－1＝1－n－＝n－1－n＝n.又 b1＝a1＝，代入上式也符合，∴bn＝n.[点石成金] 等比数列的四种常用判定方法(1)定义法：若＝q(q 为非零常数，n∈N*)或＝q(q 为非零常数且 n≥2，n∈N*)，则数列{an}是等比数列．(2)中项公式法：若数列{an}中，an≠0 且 a＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．(3)通项公式法：若数列通项公式可写成 an＝c·qn－1(c，q 均是不为 0 的常数，n∈N*)，则数列{an}是等比数列．(4)前 n 项和公式法：若数列{an}的前 n 项和 Sn＝k·qn－k(k 为常数且 k≠0，q≠0,1)，则数列{an}是等比数列．[提醒] (1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可.设数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.(1)设 bn＝an＋1－2an，求证：数列{bn}是等比数列；(2)求数列{an}的...