突破点 15 函数与方程 (对应学生用书第 55 页)[核心知识提炼]提炼 1 函数 y＝f(x)零点个数的判断 (1)代数法：求方程 f ( x ) ＝ 0 的实数根．(2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 y＝f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．(3)定理法：利用函数零点的存在性定理，即如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f ( a )· f ( b ) ＜ 0 ，那么，函数 y＝f(x)在区间 ( a ， b ) 内 有零点.提炼 2 已知函数零点个数，求参数的值或取值范围 已知函数零点个数，求参数的值或取值范围问题，一般利用数形结合转化为两个函数图象的交点个数问题．要注意观察是否需要将一个复杂函数转化为两个相对较为简单的函数，常转化为定曲线与动直线问题．[高考真题回访]回访 函数的零点问题1．(2011·浙江高考)设 a，b，c 为实数，f(x)＝(x＋a)(x2＋bx＋c)，g(x)＝(ax＋1)(ax2＋bx＋1)．记集合 S＝{x|f(x)＝0，x∈R}，T＝{x|g(x)＝0，x∈R}，若|S|，|T|分别为集合 S，T 的元素个数，则下列结论不可能的是( )A．|S|＝1 且|T|＝0 B．|S|＝1 且|T|＝1C．|S|＝2 且|T|＝2D．|S|＝2 且|T|＝3D [对于选项 A，取 a＝b＝c＝0，则 f(x)＝x3，g(x)＝1，则|S|＝1 且|T|＝0，故 A 可能成立；对于选项 B，取 a＝1，b＝0，c＝1，则 f(x)＝(x＋1)(x2＋1)，g(x)＝(x＋1)·(x2＋1)，则|S|＝1 且|T|＝1，故 B 可能成立；对于选项 C，取 a＝1，b＝3，c＝2，则 f(x)＝(x＋1)2(x＋2)，g(x)＝(x＋1)2·(2x＋1)，则|S|＝2 且|T|＝2，故 C 可能成立．故选 D.]2．(2015·浙江高考)设函数 f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)．(1)当 b＝＋1 时，求函数 f(x)在[－1,1]上的最小值 g(a)的表达式；(2)已知函数 f(x)在[－1,1]上存在零点，0≤b－2a≤1，求 b 的取值范围．[解] (1)当 b＝＋1 时，f(x)＝2＋1，故对称轴为直线 x＝－.2 分当 a≤－2 时，g(a)＝f(1)＝＋a＋2.当－2
2 时，g(a)＝f(－1)＝－a＋2.综上，g(a)＝6 分(2)设 s，t 为方程 f(x)＝0 的解，且－1≤t≤1，则9 分由于 0≤b－2a≤1，因此≤s≤(－1≤t≤1)．当 0≤t≤1 时，≤st≤.11 分由于－≤≤0 和－≤≤9－4，所以－≤b≤9－4.当－1≤t<0 时，≤st≤，13 分由于－2≤<0 和－3≤<0，所以－3≤b<0.故 b 的取值范围是[－3,9－4].15 分(对应学生用...
