第 7 节 空间角的计算最新考纲 1.能用几何方法解决空间角问题；2.了解向量方法在研究立体几何空间角问题中的应用．知 识 梳 理1．求异面直线所成的角(1)(几何法)通过作平行线化为三角形求解．(2)(向量法)设 a，b 分别是两异面直线 l1，l2的方向向量，则a 与 b 的夹角 βl1与 l2所成的角 θ范围(0，π)求法cos β＝cos θ＝|cos β|＝2.求直线与平面所成的角(1)(几何法)通过直线在平面上的射影求解，其步骤为“一作、二证、三计算”．(2)(向量法)设直线 l 的方向向量为 a，平面 α 的法向量为 n，直线 l 与平面 α 所成的角为θ，则 sin θ＝|cos 〈 a ， n 〉 | ＝．3．求二面角的大小(1)(几何法)通过一个面的垂线或垂面先作出二面角的平面角，然后加以证明和计算．(2)(向量法)如图①，AB，CD 是二面角 α－l－β 的两个面内与棱 l 垂直的直线，则二面角的大小 θ＝__〈 AB ， CD 〉 ．如图②③，n1，n2 分别是二面角 α－l－β 的两个半平面 α，β 的法向量，则二面角的大小 θ 满足|cos θ|＝|cos 〈 n 1， n 2〉 | ，二面角的平面角大小是向量 n1与 n2的夹角(或其补角)．[常用结论与微点提醒]1．异面直线所成的角与其方向向量的夹角：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；否则向量夹角的补角是异面直线所成的角．2．线面角 θ 的正弦值等于直线的方向向量 a 与平面的法向量 n 所成角的余弦值的绝对值，即 sin θ＝|cos〈a，n〉|，不要误记为 cos θ＝|cos〈a，n〉|.3．二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α，β 的法向量 n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量 n1，n2的夹角是相等，还是互补．诊 断 自 测1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．( )(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．( )(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．( )(4)两异面直线夹角的范围是，直线与平面所成角的范围是，二面角的范围是[0，π]．( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2．(选修 2－1P104 练习 2 改编)已知两平面的法向量分别为 m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角为( )A．45° B．135°C．45°或 135° D．90°解析 cos〈m，n〉＝＝＝，即...
