§10.5 曲线与方程考纲解读考点考纲内容要求浙江省五年高考统计20132014201520162017曲线与方程了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.理解21(1),6 分7(文),5 分分析解读 1.求曲线方程的题目往往出现在解答题中,并且以第一小题的形式出现,难度适中.2.预计 2019 年高考试题中,求曲线的方程会有所涉及.五年高考考点 曲线与方程 1.(2017 课标全国Ⅱ理,20,12 分)设 O 为坐标原点,动点 M 在椭圆 C: +y2=1 上,过 M 作 x 轴的垂线,垂足为 N,点 P满足=.(1)求点 P 的轨迹方程;(2)设点 Q 在直线 x=-3 上,且·=1.证明:过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F.解析 本题考查了求轨迹方程的基本方法和定点问题.(1)设 P(x,y),M(x0,y0),则 N(x0,0),=(x-x0,y),=(0,y0).由=得 x0=x,y0=y.因为 M(x0,y0)在 C 上,所以 + =1.因此点 P 的轨迹方程为 x2+y2=2.(2)由题意知 F(-1,0).设 Q(-3,t),P(m,n),则=(-3,t),=(-1-m,-n),·=3+3m-tn,=(m,n),=(-3-m,t-n).由·=1 得-3m-m2 +tn-n2=1,又由(1)知 m2+n2=2,故 3+3m-tn=0.所以·=0,即⊥.又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ,所以过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F.2.(2016 课标全国Ⅰ,20,12 分)设圆 x2+y2+2x-15=0 的圆心为 A,直线 l 过点 B(1,0)且与 x 轴不重合,l 交圆 A 于C,D 两点,过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E.(1)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点 E 的轨迹方程;(2)设点 E 的轨迹为曲线 C1,直线 l 交 C1于 M,N 两点,过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P,Q 两点,求四边形 MPNQ面积的取值范围.解析 (1)因为|AD|=|AC|,EB∥AC,故∠EBD=∠ACD=∠ADC.所以|EB|=|ED|,故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|.又圆 A 的标准方程为(x+1)2+y2=16,从而|AD|=4,所以|EA|+|EB|=4.(2 分)由题设得 A(-1,0),B(1,0),|AB|=2,由椭圆定义可得点 E 的轨迹方程为 + =1(y≠0).(4 分)(2)当 l 与 x 轴不垂直时,设 l 的方程为 y=k(x-1)(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2).由得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0.则 x1+x2=,x1x2=.所以|MN|=|x1-x2|=.(6 分)过点 B(1,0)且与 l 垂直的直线 m:y=- (x-1),A 到 m 的距离为,所以|PQ|=2=4.故四边形 MPNQ 的面积S= |MN||PQ|=12.(10 分)可得当 l 与 x 轴不垂直时,四边形 MPNQ 面积的取值范围为(12,8).当 l 与 x 轴垂直时,其方程为 x=1,|MN|=3,|PQ|=8,四边形 MPNQ 的面...
