第三节函数的奇偶性与周期性一、基础知识批注——理解深一点1 ．函数的奇偶性 ❶ 偶函数奇函数定义如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x都有 f ( － x ) ＝ f ( x ) ❷，那么函数f(x)是偶函数都有 f ( － x ) ＝－ f ( x ) ❷，那么函数 f(x)是奇函数图象特征关于 y 轴对称 关于原点对称❶ 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．❷ 若 f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：(1)f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔＝1⇔f(x)为偶函数；(2)f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔＝－1⇔f(x)为奇函数．2．函数的周期性(1)周期函数对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数 f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期．周期函数定义的实质存在一个非零常数 T，使 f(x＋T)＝f(x)为恒等式，即自变量 x 每增加一个 T 后，函数值就会重复出现一次．(2)最小正周期如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．二、常用结论汇总——规律多一点1．函数奇偶性常用结论(1)如果函数 f(x)是奇函数且在 x＝0 处有定义，则一定有 f(0)＝0；如果函数 f(x)是偶函数，那么 f(x)＝f(|x|)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．函数周期性常用结论对 f(x)定义域内任一自变量 x：(1)若 f(x＋a)＝－f(x)，则 T＝2a(a>0)．(2)若 f(x＋a)＝，则 T＝2a(a>0)．(3)若 f(x＋a)＝－，则 T＝2a(a>0)．3．函数图象的对称性(1)若函数 y＝f(x＋a)是偶函数，即 f(a－x)＝f(a＋x)，则函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝a 对称．(2)若对于 R 上的任意 x 都有 f(2a－x)＝f(x)或 f(－x)＝f(2a＋x)，则 y＝f(x)的图象关于直线 x＝a 对称．(3)若函数 y＝f(x＋b)是奇函数，即 f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数 y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．三、基础小题强化——功底牢一点(1)函数 y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．( )(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( )(3)如果函数 f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则 F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．( )(4)若函数 y＝f(x＋a)是偶函数，则函数 y＝f(x)关于直线 x＝a 对称...
