第八节函数与方程1．函数零点的概念对于函数 y＝f(x)，x∈D，我们把使 f(x)＝0 的实数 x 叫做函数 y＝f(x)，x∈D 的零点❶.2．函数的零点与方程根的联系函数 y＝f(x)的零点就是方程 f(x)＝0 的实数根也就是函数 y＝f(x)的图象与 x 轴的横坐标，所以方程 f(x)＝0 有实根⇔函数 y＝f(x)的图象与 x 轴有交点⇔函数 f(x)有零点．3．零点存在性定理4．二次函数图象与零点的关系Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与 x 轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无零点个数❹210(1)函数的零点是实数，而不是点，是方程 f(x)＝0 的实根．(2)零点一定在定义域内.由函数 y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出 f(a)·f(b)＜0，如下图所示．所以 f(a)·f(b)＜0 是 y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．事实上，只有当函数图象通过零点(不是偶次零点)时，函数值才变号，即相邻两个零点之间的函数值同号．零点存在性定理只能判断零点存在，不能确定零点的个数．若函数在某区间上是单调函数，则该函数在该区间上至多有一个零点．判断二次函数 f(x)的零点个数就是判断一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的实根个数，一般由判别式 Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0 完成．[熟记常用结论]1 ． 若 函 数 f(x) 在 [a ， b] 上 单 调 ， 且 f(x) 的 图 象 是 连 续 不 断 的 一 条 曲 线 ， 则f(a)·f(b)＜0⇒函数 f(x)在[a，b]上只有一个零点．2．连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．3．周期函数如果存在零点，则必有无穷个零点．[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与 x 轴的交点．( )(2)函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则 f(a)f(b)＜0.( )(3)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在 b2－4ac＜0 时没有零点．( )答案：(1)× (2)× (3)√二、选填题1．已知函数 y＝f(x)的图象是连续曲线，且有如下的对应值表：x123456y124.435－7414.5－56.7－123.6则函数 y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有( )A．2 个 B．3 个C．4 个 D．5 个解析：选 B 由零点存在性定理及题中的对应值表可知，函数 f(x)在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)内均有零点，所以 y＝f(x)在[1,6]上至少有 3 个零点．故选 B.2．函数 f(x)＝ln x－的零点所在的大致范围是( )A．(1,2) B．(2,3)C.和(3,4) D...
