第 19 讲 三角函数的图像与性质正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质(下表中 k∈Z)函数y=sin xy=cos xy=tan x图像定义域RRx |x∈R,且 x≠kπ+π2 ,k∈Z值域 周期性2π2ππ奇偶性 奇函数单调性2kπ-π2 ,2kπ+π2上为增函数; 上为减函数 [2kπ,2kπ+π]上为减函数; 上为增函数 kπ-π2 ,kπ+π2上为增函数对称中心 kπ+π2 ,0k π2,0对称轴x=kπ+π2 无常用结论1.函数 y=Asin(ωx+φ)和 y=Acos(ωx+φ)的最小正周期 T=2 π|ω| ,函数 y=tan(ωx+φ)的最小正周期 T= π|ω| .2.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14周期.正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期.3.三角函数中奇函数一般可化为 y=Asin ωx 或 y=Atan ωx 的形式,偶函数一般可化为y=Acos ωx+b 的形式.题组一 常识题1.[教材改编] 函数 y=2sin(2x-1)的最小正周期是 . 2.[教材改编] 若函数 y=Asin x+1(A>0)的最大值是 3,则它的最小值是 . 3.[教材改编] 函数 y=2cos x 在[-π,0]上是 函数,在[0,π]上是 函数. 4.[教材改编] 函数 f(x)=❑√tan x -1的定义域为 . 题组二 常错题◆索引:忽视 y=Asin x(或 y=Acos x)中 A 对函数单调性的影响;忽视函数的定义域;忽视正、余弦函数的有界性;忽视正切函数的周期性.5.函数 y=1-2cos x 的单调递减区间是 . 6.函数 y=cos xtan x 的值域是 . 7.函数 y=-cos2x+3cos x-1 的最大值为 . 8.函数 y=tan(x+ π4 )图像的对称中心是 . 探究点一 三角函数的定义域例 1 (1)函数 f(x)=❑√2-lo g2 x+tan(x+ π3 )的定义域为 . (2)函数 y=ln(2cos x+1)+❑√sin x的定义域为 . [总结反思] 求三角函数的定义域实际上是解简单的三角函数不等式(组),常借助三角函数线或三角函数的图像来求解.变式题 (1)函数 y=❑√sin x- cos x的定义域为 . (2)函数 f(x)=sin x- 1❑√❑√3+2sin x 的定义域是 . 探究点二 三角函数的值域或最值例 2 (1)函数 y=2cos 2x-sin x+1 的最大值是 . (2)[2018·沧州质检] 已知 x∈[- π4 , π6 ],则函数 f(x)=2cos xsin x+π3-❑√3sin2x+sin xcos x 的最大值与最小值之和为 . [总结反思] 求解三角函数的值域(最值)的几种方法:① 形如 y=asin x+bcos x+c 的三角函数,化为 y=Asin(ωx+φ)+k 的形式,再求值...
