第 20 讲 函数 y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用1.y=Asin(ωx+φ)的有关概念振幅周期频率相位 初相y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x∈[0,+∞)AT= f= 1T = 2.用五点法画 y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个特征点,如下表所示:x ωx+φ y=Asin(ωx+φ)0A0-A03.函数 y=sin x 的图像经变换得到 y=Asin(ωx+φ)的图像的步骤图 3-20-1题组一 常识题1.[教材改编] 函数 y=sin x 的图像上所有点的横坐标不变,纵坐标伸长为原来的 2 倍得到的图像对应的函数解析式是 . 2.[教材改编] 某函数的图像向右平移π2 个单位长度后得到的图像对应的函数解析式是y=sin(x+ π4 ),则原函数的解析式是 . 3.[教材改编] 函数 y=cos(2 x- π2)的周期为 ,单调递增区间为 . 4.[教材改编] 已知简谐运动 f(x)=2sin π3x+φ (|φ|< π2)的图像经过点(0,1),则该简谐运动的初相 φ 为 . 题组二 常错题◆索引:图像平移多少单位长度容易搞错;不能正确理解三角函数图像对称性的特征;三角函数的单调区间把握不准导致出错;确定不了函数解析式中 φ 的值.5.为得到函数 y=cos(2 x+ π3)的图像,只需将函数 y=sin 2x 的图像向 平移 个单位长度. 6.设 ω>0,若函数 f(x)=12sin ωx 在区间[- π2 , π2 ]上单调递增,则 ω 的取值范围是 . 7.若 f(x)=2sin(ωx+φ)+m 对任意实数 t 都有 f(π8 +t)=f(π8 -t),且 f(π8)=-3,则实数 m= . 图 3-20-28.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ) ω>0,|φ|<π2的部分图像如图 3-20-2 所示,则 φ= . 探究点一 函数 y=Asin(ωx+φ)的图像变换例 1 (1)将函数 f(x)=sin(2 x+ π4)的图像沿 x 轴向左平移π8个单位长度后所得图像对应的函数解析式为( ) A.y=cos 2xB.y=-cos 2xC.y=sin(2 x+ 3 π8 )D.y=sin(2 x- π8)(2)若由函数 y=sin(2 x+ π2)的图像变换得到 y=sin x2+π3的图像,则可以通过以下两个步骤完成:第一步,把 y=sin 2x+π2图像上所有点的横坐标变为原来的 4 倍,纵坐标不变;第二步,把所得图像沿 x 轴 ( )A.向右平移π3个单位长度B.向右平移5π12 个单位长度C.向左平移π3个单位长度D.向左平移5π12 个单位长度 [总结反思] 由 y=sin x 的图像变换到 y=Asin(ωx+φ)的图像,两种变换中平移的量的区别:先平移再伸缩,平移的量是|φ|个单位长度;而先伸缩再平移,平移的量是|φ|ω (ω>0)个单位长度.特别提醒:平移变...
