第 21 讲 两角和与差的正弦、余弦和正切两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)公式 S(α±β):sin(α±β)= . (2)公式 C(α±β):cos(α±β)= . (3)公式 T(α±β):tan(α±β)= . 常用结论1.两角和与差的正切公式的变形:tan α±tan β=tan(α±β)(1tan ∓αtan β).2.二倍角余弦公式的变形:sin2α=1- cos2α2,cos2α=1+cos2α2.3.一般地,函数 f(α)=asin α+bcos α(a,b 为常数)可以化为 f(α)=❑√a2+b2sin(α+φ)(其中 tan φ=ba)或 f(α)=❑√a2+b2cos(α-φ)(其中 tan φ=ab).题组一 常识题1.[教材改编] sin 75°的值为 . 2.[教材改编] 已知 cos α=-35,α∈(π2 ,π),则 sin α+π3的值是 . 3.[教材改编] cos 65°cos 115°-cos 25°sin 115°= . 4.[教材改编] 已知 tan α=13,tan β=-2,则 tan(α-β)的值为 . 题组二 常错题◆索引:忽略角的取值范围;公式的结构套用错误;混淆两角和与差的正切公式中分子、分母上的符号;方法选择不当致误.5.已知 tan 5π4 +α =17,α∈ π2 ,π ,则 cos α 的值是 . 6.化简:12sin x-❑√32cos x= . 7.计算: 1- tan 15°1+tan 15°= . 8.若 α+β=3π4 ,则[1+tan(π-α)](1-tan β)的值为 . 探究点一 两角和与差的三角函数公式例 1 (1)[2018·湘潭模拟] 若 sin(2α-β)=16,sin(2α+β)=12,则 sin 2αcos β=( ) A.23B.13C.16 D. 112(2)[2018·晋城一模] 已知 cos(α+ π6 )=❑√3cos α,tan β=❑√33,则 tan(α+β)= . [总结反思] 两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广,可用 α,β 的三角函数表示 α±β 的三角函数,在使用两角和与差的三角函数公式时,特别要注意角与角之间的关系,完成统一角和角与角转换的目的.变式题 (1)[2018·佛山质检] 已知 cos α=17,α∈(0, π2),则 cos(α - π3 )=( )A.-1114B.3❑√314C.5❑√314D.1314(2)[2018·唐山三模] 已知 tan α+π6=1,则 tan α-π6=( )A.2-❑√3B.2+❑√3C.-2-❑√3D.-2+❑√3探究点二 两角和与差公式的逆用与变形例 2 (1)[2018·烟台一模] 已知 cos(x - π6 )=❑√33,则 cos x+cos(x - π3 )=( )A.-1B.1C.2❑√33D.❑√3(2)已知 sin α+cos β=13,sin β-cos α=12,则 sin(α-β)= . [总结反思] 常见的公式变形:(1)两角正切的和差公式的变形,即 tan α±tan β=tan(α±β)(1tan...
