第 23 讲 正弦定理和余弦定理1.正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理公式asin A= = =2R(其中 R 是△ABC 的外接圆的半径) a2= , b2= , c2= 定理的变形a=2Rsin A,b= ,c= ,a∶b∶c= cos A= , cos B= , cos C= 2.在△ABC 中,已知 a,b 和 A 时,解的情况如下:A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式a=bsin Absin A
b解的个数 3.三角形面积公式(1)S=12ah(h 表示边 a 上的高);(2)S=12bcsin A=12acsin B=12absin C;(3)S=12r(a+b+c)(r 为三角形的内切圆半径).常用结论1.三角形内角和定理:在△ABC 中,A+B+C=π;变形: A+B2=π2 -C2 .2.三角形中的三角函数关系:(1)sin(A+B)=sin C;(2)cos(A+B)=-cos C;(3)sin A+B2=cos C2 ;(4)cos A+B2=sin C2 .3.三角形中的射影定理在△ABC 中,a=bcos C+ccos B;b=acos C+ccos A;c=bcos A+acos B.题组一 常识题1.[教材改编] 在△ABC 中,B=45°,C=60°,c=2,则最短边的边长等于 . 2.[教材改编] 在△ABC 中,已知 a=5,b=2❑√3,C=30°,则 c= . 3.[教材改编] 在△ABC 中,已知 a2-c2+b2=ab,则 C 等于 . 4.[教材改编] 在△ABC 中,已知 a=3❑√2,b=2❑√3,cos C=13,则△ABC 的面积为 . 题组二 常错题◆索引:在△ABC 中角与角的正弦的关系弄错;利用正弦定理求角时解的个数弄错;余弦定理、面积公式中边与角的三角函数的对应关系弄错;三角形中的三角函数关系弄错.5.在△ABC 中,若 sin A=sin B,则 A,B 的关系为 ;若 sin A>sin B,则 A,B 的关系为 . 6.在△ABC 中,若 A=60°,a=4❑√3,b=4❑√2,则 B 等于 . 7.在△ABC 中,a=2,b=3,C=60°,则 c= ,△ABC 的面积等于 . 8.在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 所对的边,若 ccos A=b,则△ABC 为 三角形. 探究点一 利用正弦、余弦定理解三角形例 1 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 a=❑√3,且 b2+c2=3+bc. (1)求角 A 的大小;(2)求 bsin C 的最大值. [总结反思] (1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素,基本思想是方程思想,即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程,通过解方程求得未知元素;(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化,解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系,也可以把已知条件化为三角形边的关系;(3)涉及最值问题时,常利用基本不等式或表示为...
