高三数学第一轮复习 正余弦定理的综合应用学案 理-人教版高三全册数学学案

正余弦定理的综合应用一．知识点梳理 1.（1）正弦定理反应了三角形的边角关系，它可以用来解决两类解斜三角形的问题（2）.已知两角和一边，求其他边和角（3）.已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（可进一步求出其他的边和角）2.余弦定理也反应了三角形的边角关系，它是勾股定理的进一步推广，它可以解决以下三类有关斜三角形问题(1).已知三边，求三个角(2)已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，此类问题需要讨论3.处理三角形内的三角函数问题应注意以下几点(1).在利用正弦定理理解已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解，两解，或者无解情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍(2)在三角形 ABC 中，有解的充要条件是 cosA+cosB>0 ，利用该结论解选择题或填空题十分方便二．题型探究【探究一】：测量距离问题如图所示，甲船以每小时 30 海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于 A1处时，乙船位于甲船的北偏西 105°方向的B1处，此时两船相距 20 海里．当甲船航行 20 分钟到达 A2处时，乙船航行到甲船的北偏西 120°方向的 B2处，此时两船相距 10 海里．问乙船每小时航行多少海里？【解析】解 如图所示，连接 A1B2，由已知 A2B2＝10，A1A2＝30×＝10，∴A1A2＝A2B2，又∠A1A2B2＝180°－120°＝60°，∴△A1A2B2是等边三角形，∴A1B2＝A1A2＝10.由已知，A1B1＝20，∠B1A1B2＝105°－60°＝45°，在△A1B2B1中，由余弦定理，得 B1B＝A1B＋A1B－2A1B1·A1B2·cos 45°＝202＋(10)2－2×20×10×＝200.∴B1B2＝10.因此，乙船速度的大小为×60＝30(海里/小时)．答 乙船每小时航行 30 海里．【探究二】：正余定理与三角形的面积问题如图，在△ABC 中，BC＝5，AC＝4，cos∠CAD＝且 AD＝BD，求△ABC 的面积．【解析】：解 设 CD＝x，则 AD＝BD＝5－x，在△CAD 中，由余弦定理可知 cos∠CAD＝＝.解得 x＝1.在△CAD 中，由正弦定理可知＝，∴sin C＝·＝4＝，∴S△ABC＝AC·BC·sin C＝×4×5×＝.所以三角形 ABC 的面积为三、方法提升：1.在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角与角之间的关系或边与边之间的关系，再用三角变换或代数式的恒等变形（如因式分解法，配方法等）求解，注意等式两边的公因式不要约掉，要移向提取公因...