专题06三角函数的图像与性质【自主热身,归纳总结】1、已知锐角θ满足tanθ＝cosθ,则＝________．【答案】：3＋2【解析】：由tanθ＝cosθ得sinθ＝cos2θ,即sinθ＝(1－sin2θ),解得sinθ＝(负值已舍去),cosθ＝,代入,可得结果为3＋2.2、在平面直角坐标系xOy中,已知角α,β的始边均为x轴的非负半轴,终边分别经过点A(1,2),B(5,1),则tan(α－β)的值为________．【答案】：【解析】：由三角函数的定义可知tanα＝＝2,tanβ＝,故tan(α－β)＝＝＝.3、函数y＝3sin的图像两相邻对称轴的距离为________．【答案】：【解析】：由题知函数最小正周期T＝＝π.图像两相邻对称轴间的距离是最小正周期π的一半即.4、若函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0,ω>0)的图像与直线y＝m的三个相邻交点的横坐标分别是,,,则实数ω的值为________．【答案】：4【解析】：由题意得函数f(x)的最小正周期T＝－＝,从而ω＝4.5、若函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0,ω＞0,|φ|＜π)的部分图像如图所示,则f(－π)的值为________．【答案】：－1【解析】：由题意,A＝2,T＝×4＝3π＝,即ω＝,解得＋φ＝2kπ＋,k∈Z,即φ＝2kπ－,k∈Z,因为|φ|＜π,所以φ＝－,所以f(－π)＝2sin(－π－)＝－1.依图求函数y＝Asin(ωx＋φ)的【解析】式的难点在于确定初相φ,其基本方法是利用特殊点,通过待定系数法、五点法或图像变换法来求解．6函数f(x)＝cos的最小正周期为________．【答案】2π【解析】：因为f(x)＝cos＝sinx－·＝sin－,所以最小正周期为2π.7、将函数y＝3sin的图像向右平移φ个单位长度后,所得函数为偶函数,则φ＝________.【答案】：.8、若函数f(x)＝sin(ω＞0)的最小正周期为π,则f的值是________．【答案】：【解析】：因为f(x)的最小正周期为π,所以＝π,故ω＝2,所以f(x)＝sin,从而f＝sin＋＝sin＝.9、已知α∈,β∈,cosα＝,sin(α＋β)＝－,则cosβ＝________.【答案】：－【解析】：因为α∈,cosα＝,所以sinα＝.又α＋β∈,,sin(α＋β)＝－＜0,所以α＋β∈,故cos(α＋β)＝－,从而cosβ＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－×－×＝－.10、若tanβ＝2tanα,且cosαsinβ＝,则sin(α－β)的值为________．【答案】：－【解析】：因为tanβ＝2tanα,所以＝,即cosαsinβ＝2sinαcosβ.又因为cosαsinβ＝,所以sinαcosβ＝,从而sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝－＝－.11．若函数的图象过点,则函数在上的单调减区间是▲．【答案】：（或）12、在同一直角坐标系中,函数y＝sin(x＋)（x∈[0,2π]）的图象和直线y＝的交点的个数是．【答案】．2解法1令,可得即,又x∈[0,2π],所以或,故原函数图象与的交点个数为2.解法2在同一个坐标系下画出这两个函数图象,可得交点个数为213、已知θ是第三象限角,且sinθ－2cosθ＝－,则sinθ＋cosθ＝________.【答案】：－思路分析首先试试能否猜出【答案】,猜出的【答案】是否正确．观察得sinθ＝,cosθ＝满足方程,但此时θ是第一象限角,不合题意．由得5cos2θ－cosθ－＝0,解得cosθ＝或－.因为θ是第三象限角,所以cosθ＝－,从而sinθ＝－,所以sinθ＋cosθ＝－.解后反思虽然观察得到的结果不合题意,但是也很有用,在实际解方程时,利用“根与系数的关系”能很快找到我们需要的解．本质上,可看作是二元二次方程组,通常有两解．一般地,由Asinθ＋Bcosθ＝C求sinθ,cosθ可能有两组解．14、已知sin(x＋)＝,则sin(x－)＋sin2(－x)的值为________．【答案】：【解析】：sin＝sin＝－sin(x＋)＝－,sin2＝cos2＝1－sin2(x＋)＝1－＝,所以sin＋sin2＝－＋＝.解后反思本题旨在考查角变换和函数名称变换,切不可以把已知和未知的括号打开,以免陷入繁杂的运算中,造成隐形失分．【问题探究,变式训练】例1、设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)的最小正周期为π,且满足f(－x)＝f(x),则函数f(x)的单调增区间为________．【答案】(k∈Z)【解析】：由题意可得f(x)＝2sin.又最小正周期为π,故ω＝2.又该函数的对称轴为直线x＝0,所以φ＋＝kπ＋(k∈Z),解得φ＝kπ＋(k∈Z)．又因为<,所以φ＝,所以f(x)＝2cosx,故单调增区间为(k∈Z)．【变式1】、..若f(x)＝sin...
