突破 17 竖直面内的圆周运动一、竖直平面内圆周运动的临界问题——“轻绳、轻杆”模型1.“轻绳”模型和“轻杆”模型不同的原因在于“轻绳”只能对小球产生拉力，而“轻杆”既可对小球产生拉力也可对小球产生支持力。2.有关临界问题出现在变速圆周运动中，竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动，一般情况下，只讨论最高点和最低点的情况。物理情景最高点无支撑最高点有支撑实例球与绳连接、水流星、沿内轨道的“过山车”等球与杆连接、球在光滑管道中运动等图示异同点受力特征除重力外，物体受到的弹力方向：向下或等于零除重力外，物体受到的弹力方向：向下、等于零或向上受力示意图力学方程mg＋FN＝mv2Rmg±FN＝mv2R临界特征FN＝0mg＝m2minmin即 vmin＝v＝0即 F 向＝0FN＝mg过最高点的条件 在最高点的速度 v≥v≥0 【典例 1】如图甲所示，轻杆一端固定在 O 点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为 R 的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为 F，小球在最高点的速度大小为 v，其 F－v2图象如图乙所示，则( ) A．小球的质量为aRbB．当地的重力加速度大小为RbC．v2＝c 时，小球对杆的弹力方向向上D．v2＝2b 时，小球受到的弹力与重力大小相等【答案】： ACD 【典例 2】用长 L ＝ 0.6 m 的绳系着装有 m ＝ 0.5 kg 水的小桶，在竖直平面内做圆周运动，成为“水流星”。G ＝10 m/s2。求： (1) 最高点水不流出的最小速度为多少？(2) 若过最高点时速度为 3 m/s，此时水对桶底的压力多大？【答案】 (1) 2.45 m/s (2) 2.5 N 方向竖直向上【解析】(1) 水做圆周运动，在最高点水不流出的条件是：水的重力不大于水所需要的向心力。这是最小速度即是过最高点的临界速度 v0。以水为研究对象， mg＝m0解得 v0＝＝ m/s ≈ 2.45 m/s(2) 因为 v ＝ 3 m/s>v0，故重力不足以提供向心力，要由桶底对水向下的压力补充，此时所需向心力由以上两力的合力提供。V ＝ 3 m/s>v0，水不会流出。设桶底对水的压力为 F，则由牛顿第二定律有：mg＋F＝mv2L解得 F＝mv2L －mg＝0.5×(320.6－10)N＝2.5N根据牛顿第三定律 F′＝－F所以水对桶底的压力 F′＝2.5N，方向竖直向上。【跟踪短训】1. 如图所示，一内壁光滑、质量为 m、半径为 r 的环形细圆管，用硬杆竖直固定在天花板上．有一质量为 m 的小球(可看做质点)在圆管中运动．小球以速率 v0经过圆管最低点时，杆对圆管...
