专题突破(三) 动力学中的经典“模型”一、等时圆问题1．规律物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦从顶端由静止下滑，到达圆周上各点所用时间相等．有下列三种形式．证明：设弦与竖直方向夹角为 θ，根据几何关系知位移 x＝2Rcos θ 或 x＝2(r＋R)cos θ，根据牛顿第二定律有 mgcos θ＝ma，又 x＝at2，联立解得 t＝或 t＝，即时间与 θ 无关．2．特点(1)多条相交的倾斜光滑轨道，质点从静止开始由轨道的一端滑到另一端．(2)若轨道交点在上，则上端为等时圆的最高点；若轨道交点在下，则下端为等时圆的最低点．(3)轨道端点在等时圆上，则质点运动时间相等；轨道端点在等时圆外，则运动时间较长；轨道端点在等时圆内，则运动时间较短．3．应用依题目条件，恰当地构建等时圆，再依其特点作出判断．例 1 如图，在斜坡上有一根旗杆长为 L.现有一个小环从旗杆顶部沿一根光滑钢丝 AB 滑至斜坡底部，已知斜坡的倾角为 θ，AB 与水平面夹角为 a，OB＝L.则小环从 A 滑到B 的时间为( ) A. B．2C. D．2[解析] 可以以 O 为圆心，以 L 为半径画一个圆．根据“等时圆”的规律可知，从 A 滑到 B 的时间等于从 A 点沿直径到底端 D 的时间，所以有 tAB＝tAD＝＝＝2，故 D 正确．[答案] D1．如图所示，在倾角为 θ 的斜面上方的 A 点处固定一光滑的木板 AB，B 端刚好在斜面上，木板与竖直方向 AC 所成角度为 α.一小物块由 A 端沿木板由静止滑下，要使物块滑到斜面的时间最短，则 α 与 θ 角的大小关系是( )A．α＝θ B．α＝C．α＝2θ D．α＝[解析] 如图所示，在竖直线 AC 上选取一点 O，以适当的长度为半径画圆，使该圆过 A点，且与斜面相切于 D 点．由等时圆模型的特点知，由 A 点沿斜面滑到 D 点所用时间比由 A点到达斜面上其他各点所用时间都短．将木板下端 B 点与 D 点重合即可，而∠COD＝θ，则α＝.[答案] B2．两个圆 1 和 2 外切，它们的圆心在同一竖直线上，有三块光滑的板，它们的一端搭在墙上，另一端搭在圆 2 的圆周上，三块板都通过两圆的切点，A 在圆周上，B 在圆内，C在圆外，从 A、B、C 三处同时静止释放一个小球，它们都沿光滑板运动，则最先到达圆 2的圆周上的球是( )A．从 A 处释放的球B．从 B 处释放的球C．从 C 处释放的球D．同时到达[解析] 设轨道与竖直方向夹角为 α，圆 1 半径为 r1，圆 2 的半径为 r2，当起点在圆 1圆周...
