第 5 章 数值积分与数值微分方法关于定积分计算，已经有较多方法，如公式法、分步积分法等，但实际问题中，常常出现不能用通常这些积分方法计算的定积分问题。怎样把这些通常方法失效的定积分在一定精度下快速计算出来，特别是通过计算机编程计算出来就是本章讨论的内容。此外，怎样根据函数在若干个点处的函数值去求该函数的导数近似值也是本章介绍的内容。本章涉及的方法有 Newton-Cotes 求积公式、Gauss 求积公式、复化求积公式、Romberg 求积公式和数值微分。5.1 引 例人造地球卫星轨道可视为平面上的椭圆。我国的第一颗人造地球卫星近地点距离地球表面439km，远地点距地球表面 2384km，地球半径为 6371km，求该卫星的轨道长度。本问题可用椭圆参数方程来描述人造地球卫星的轨道，式中 a, b 分别为椭圆的长短轴，该轨道的长度 L 就是如下参数方程弧长积分但这个积分是椭圆积分，不能用解析方法计算。5.2 问题的描述与基本概念要想用计算机来计算，应对其做离散化处理。注意到定积分是如下和式的极限要离散化，做去掉极限号将取为具体的值为减少离散化带来的误差，将用待定系数代替于是就得到定 义5.1 若 存 在 实 数且 任 取都有 （5.1）则称式(5.1)为一个数值求积公式。式中称为求积系数，称为求积节点，而称 （5.2）为求积余项或求积公式（5.1）的截断误差。从定义可以看到，数值求积公式依赖于求积节点个数 n、求积节点和求积系数，这三个量有一个发生变化，则产生不同的求积公式。定义 5.2 若求积公式对所有不超过 m 次的多项式有求积余项，而对某一个 m+1 次多项式有，则称该求积公式的代数精度为 m。一般，一个求积公式的代数精度越大，则该求积公式越好。确定代数精度的方法依次取代入公式并验证是否成立。若第一个使不成立的 k 值为 m，则对应的代数精度为 m-1。例 5.1 确定求积公式的代数精度。解 取代入求积公式有易验证，但，故本题求积公式代数精度为 3。例 5.2 确定下面求积公式的参数 A，B，C，使它具有尽可能高的代数精度，并指出相应的代数精度。解 本题要先求出具体的求积公式，然后再推断所求公式的代数精度。公式有 3 个待定参数，h 不是求积公式的参数，故利用 3 个条件得到的 3 个等式关系就可以解决求出具体求积公式的问题。依次取代入求积公式并取等号，有解之得故所求的求积公式为为 确 定 其 代 数 精 度 ， 再 取代 入 求 出 的 公 式 继 ...
