线性方程组得矩阵求法摘要:关键词:第一章 引言矩阵及线性方程组理论就是高等代数得重要内容, 用矩阵方法解线性方程组又就是人们学习高等代数必须掌握得基本技能,本文将给出用矩阵解线性方程组得几种方法,通过对线性方程组得系数矩阵(或增广矩阵)进行初等变换得到其解,并列举出几种用矩阵解线性方程组得简便方法。第二章 用矩阵消元法解线性方程组第一节 预备知识 定义 1:一个矩阵中不等于零得子式得最大阶数叫作这个矩阵得秩。 定理 1:初等变换把一个线性方程组变为一个与它同解得线性方程组。定义2:定义若阶梯形矩阵满足下面两个条件:(1)B得任一非零行向量得第一个非零重量(称为得一个主元)为1;(2)B中每一主元就是其所在列得唯一非零元。则称矩阵为行最简形矩阵。第二节1.对一个线性方程组施行一个初等变换,相当于对它得增广矩阵施行一个对应得行初等变换,而化简线性方程组相当于用行初等变换化简它得增广矩阵,因此,我们将要通过花间矩阵来讨论化简线性方程组得问题。这样做不但讨论起来比较方便,而且能给我们一种方法,就一个线性方程组得增广矩阵来解这个线性方程组,而不必每次都把未知量写出来。下面以一般得线性方程组为例,给出其解法:(1)根据方程组可知其系数矩阵为: (2)其增广矩阵为:(3)根据(2)及矩阵得初等变换我们可以得到与它同解得线性方程组,并很容易得到其解。定理 2:设 A 就是一个 m 行 n 列矩阵A=通过行初等变换与第一种列初等变换能把 A 化为以下形式(4) 进而化为(5)这里 r0,rm, rn , 表示矩阵得元素,但不同位置上得表示得元素未必相等。即任何矩阵都可以通过初等变换化为阶梯形,并进而化为行最简形现在考察方程组(1)得增广矩阵(3),由定理 2 我们可以对(1)得系数矩阵(2)施行一次初等变换,把它化为矩阵(5),对增广矩阵(3)施行同样得初等变换,那么(3)可以化为以下形式:(6)与(6)相当得线性方程组就是:(7)这里,,…,就是 1,2,…,n 得一个排列,由于方程组(7)可以由方程组(1)通过方程组得初等变换以及交换未知量得位置而得到,所以由定理 1,方程组(7)与方程组(1)同解。因此,要求方程组(1),只需解方程组(7),但方程组(7)就是否有解以及有怎样得解很容易瞧出:情形(1),r
