第二十五讲 辅助圆 在处理平面几何中得许多问题时，常需要借助于圆得性质，问题才得以解决.而我们需要得圆并不存在(有时题设中没有涉及圆;有时虽然题设涉及圆,但就是此圆并不就是我们需要用得圆),这就需要我们利用已知条件,借助图形把需要得实际存在得圆找出来,添补辅助圆得常见方法 1.利用圆得定义添补辅助圆； 2.作三角形得外接圆; ３.运用四点共圆得判定方法：(1）若一个四边形得一组对角互补，则它得四个顶点共圆. (2)同底同侧张等角得三角形,各顶点共圆. （3）若四边形Ａ BCD 得对角线相交于 P,且 PA·PC＝PB·PD,则它得四个顶点共圆. （4)若四边形 ABC Ｄ得一组对边Ａ B、DC 得延长线相交于 P,且Ｐ A·Ｐ B=PC·Ｐ D,则它得四个顶点共圆.【例题求解】一·利用圆得定义添加辅助圆 【例 1】 如图,若 PA=Ｐ B，∠APB=2∠ACB,A Ｃ与Ｐ B 交于点 P，且 PB＝4,PD=3,则AD·DC 等于（ ) A．6 Ｂ.７ C．12 D．16 思路点拨 作出以 P 点为圆心、PA 长为半径得圆,为相交弦定理得应用创设了条件.注：到一个定点等距离得几个点在同一个圆上,这就是利用圆得定义添辅助圆得最基本方法．变式练习:如图,已知 OA=Ｏ B=OC,且∠AOB=∠BOC,则∠ACB 就是∠BAC 得（ ) A．倍 Ｂ.就是倍 C. D. 二·作三角形得外接圆【例 2】 如图,在△A Ｂ C 中,AB＝AC,任意延长 C Ａ到 P,再延长 A Ｂ到 Q,使ＡＰ＝ＢＱ，求证:△ABC 得外心 O 与 A,P,Q 四点共圆. 思路点拨 先作出△ABC 得外心Ｏ,连 PO、OQ,将问题转化为证明角相等.变式练习：５．如图,在等腰梯形 ABCD 中，AB∥CD,Ａ B=9 ９ 8,CD＝1001，Ａ D=1 ９ 99,点 P 在线段AD 上,满足条件得∠BPC=90°得点Ｐ得个数为( ) A．0 B.1 Ｃ.２ 1 D.不小于 3 得整数 （全国初中数学联赛题)三·四点共圆1·若有一个四边形对角互补，则四边形得四个顶点四点共圆。【例３】如图;已知Ｈ就是△ABC 三条高得交点,连结Ｄ F,Ｄ E,ＥＦ，求证:H 就是△Ｄ EF 得内心．变式练习:如图,直线ＡＢ与 A Ｃ与⊙O 分别相切于 B、C,P 为圆上一点,P 到 AB、Ａ C 得距离分别为 4 ｃ m、6cm,那么Ｐ到 BC 得距离为 . （全国初中数学联赛题)思路点拨 连 DF,EF,寻找Ｐ D、PE、Ｐ F 之间得关系，证明△P ＤＦ∽△PF Ｅ,而发现 P、Ｄ、Ｂ、F 与 P、E、C、Ｆ分别共圆，突破角就是解题得关键.注:圆具有丰富得性质:(1）圆得对称性；(2)等...
