第 1 讲 一元二次方程根的判别式现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着重要应用．本专题将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系等进行讲述。【知识梳理】一元二次方程的根的判别式一元二次方程，用配方法将其变形为：(1) 当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实数根：(2) 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实数根：(3) 当时，右端是负数．因此，方程没有实数根．由于可以用的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把叫做一元二次方程的根的判别式，表示为：【精讲深剖】一元二次方程根的判别式即是判定方程根的情况的充分条件，也是求解方程根的一般方法。【典例解析】1.判定下列关于 x 的方程的根的情况（其中 a 为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．（1）x2－3x＋3＝0； （2）x2－ax－1＝0； （3） x2－ax＋(a－1)＝0； （4）x2－2x＋a＝0．【解析】（1） Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根．（2）该方程的根的判别式 Δ＝a2－4×1×(－1)＝a2＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根;， ．（3）由于该方程的根的判别式为Δ＝a2－4×1×(a－1)＝a2－4a＋4＝(a－2)2，所以，①当 a＝2 时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根：x1＝x2＝1；② 当 a≠2 时，Δ＞0， 所以方程有两个不相等的实数根： x1＝1，x2＝a－1．【解题反思】在第 3，4 小题中，方程的根的判别式的符号随着 a 的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对 a 的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题．【变式训练】1.已知关于的一元二次方程，根据下列条件，分别求出的范围：(1) 方程有两个不相等的实数根；(2) 方程有两个相等的实数根；(3)方程有实数根；(4) 方程无实数根．【解析】(1) ；(2) ；(3)； (4) ．【点评】本题已知根的情况，运用根的判别式，求方程中参数的取值范围。需要逆向思考，体现了思维的灵活性。2.（1）判断直线与抛物线的交点个数；（2）若直线与抛物线有两个不同的交点，求的范围。【分析】有题意，曲线交点个数可转化为对应方程组的解的个数，可借助根的判别式进行解决；（2）由，代入消元得；，整理得；，由题意可得；，...
