第 2 讲 根与系数的关系（韦达定理）现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着重要应用．本专题将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系等进行讲述。【知识梳理】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）一元二次方程的两个根为：所以：，定理：如果一元二次方程的两个根为，那么：说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”．上述定理成立的前提是．【高效演练】1.若 是一元二次方程 的两个根，则的值是( )A．2 B．－2 C．4 D．－3【解析】：方程的两根为，，根据题意得．故选 D．【答案】D．2．若 α，β 是方程 x2﹣2x﹣3=0 的两个实数根，则 α2+β2的值为（ ）A. 5 B. 7 C. 9 D. 10【解析】 α，β 是方程 x2﹣2x﹣3=0 的两个实数根，∴α+β=2，αβ=﹣3，∴α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=22﹣2×（﹣3）=10．故选 D．【答案】D3．关于 x 的一元二次方程 x2＋px＋q＝0 的两根同为负数，则( )A. p＞0 且 q＞0 B. p＞0 且 q＜0 C. p＜0 且 q＞0 D. p＜0 且 q＜0【解析】试题解析：设 x1，x2是该方程的两个负数根，则有 x1+x2＜0，x1x2＞0， x1+x2=-p，x1x2=q∴-p＜0，q＞0∴p＞0，q＞0．故选 A．【答案】A4.方程 x2－(m＋6)x＋m2＝0 有两个相等的实数根，且满足 x1＋x2＝x1x2，则 m 的值是( )A. －2 或 3 B. 3 C. －2 D. －3 或 25.规定：如果关于 x 的一元二次方程（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2 倍，则称这样的方程为“倍根方程”．现有下列结论：① 方程是倍根方程；② 若关于 x 的方程是倍根方程，则 a=±3；③ 若关于 x 的方程（a≠0）是倍根方程，则抛物线与 x 轴的公共点的坐标是（2，0）和（4，0）；④ 若点（m，n）在反比例函数的图象上，则关于 x 的方程是倍根方程．上述结论中正确的有（ ）A．①② B．③④ C．②③ D．②④【解析】③ 关于 x 的方程（a≠0）是倍根方程，∴x2=2x1， 抛物线的对称轴是直线 x=3，∴抛物线与 x 轴的交点的坐标是（2，0）和（4，0），故③正确；④ 点（m，n）在反比例函数的图象上，∴mn=4，解得 x1=﹣，x2=﹣，∴x2=4x1，∴关于 x 的方程不是倍根方程；故选 C．【答案】C．6.已知关...
