第 2 讲 根与系数的关系（韦达定理）现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着重要应用．本专题将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系等进行讲述
【知识梳理】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）一元二次方程的两个根为：所以：，定理：如果一元二次方程的两个根为，那么：说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”．上述定理成立的前提是．【高效演练】1
若 是一元二次方程 的两个根，则的值是( )A．2 B．－2 C．4 D．－3【解析】：方程的两根为，，根据题意得．故选 D．【答案】D．2．若 α，β 是方程 x2﹣2x﹣3=0 的两个实数根，则 α2+β2的值为（ ）A
10【解析】 α，β 是方程 x2﹣2x﹣3=0 的两个实数根，∴α+β=2，αβ=﹣3，∴α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=22﹣2×（﹣3）=10．故选 D．【答案】D3．关于 x 的一元二次方程 x2＋px＋q＝0 的两根同为负数，则( )A
p＞0 且 q＞0 B
p＞0 且 q＜0 C
p＜0 且 q＞0 D
p＜0 且 q＜0【解析】试题解析：设 x1，x2是该方程的两个负数根，则有 x1+x2＜0，x1x2＞0， x1+x2=-p，x1x2=q∴-p＜0，q＞0∴p＞0，q＞0．故选 A．【答案】A4
方程 x2－(m＋6)x＋m2＝0 有两个相等的实数根，且满足 x1＋x2＝x1x2，则 m 的值是( )A
－2 或 3 B
－3 或 25
规定：如果关于 x 的一元二次方程（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2 倍，则称这样的方程为“倍根方程
