第 2 讲 根与系数的关系（韦达定理）现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着重要应用．本专题将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系等进行讲述
【知识梳理】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）一元二次方程的两个根为：所以：，定理：如果一元二次方程的两个根为，那么：说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”．上述定理成立的前提是．【典例解析】1
已知方程的一个根是 2，求它的另一个根及 k 的值．【分析】由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出 k 的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出 k 的值．【解析】解法一： 2 是方程的一个根，∴5×22＋k×2－6＝0，∴k＝－7．所以，方程就为 5x2－7x－6＝0，解得 x1＝2，x2＝－．所以，方程的另一个根为－，k 的值为－7．解法二：设方程的另一个根为 x1，则 2x1＝－，∴x1＝－．由 （－）＋2＝－，得 k＝－7．所以，方程的另一个根为－，k 的值为－7．【解题反思】本题两种解法进行比较，解法一将已知的根代入方程求解出 k 的值，再求另一个根；而解法二直接运用韦达定理，建立二元一次方程求解更加高效
若 x1和 x2分别是一元二次方程 2x2＋5x－3＝0 的两根．（1）求的值； （2）求的值；（3）x13＋x23．【解析】 x1和 x2分别是一元二次方程 2x2＋5x－3＝0 的两根， ∴，．（1） | x1－x2|2＝x12+ x22－2 x1x2＝(x1＋x2)2－4 x1
