第 2 讲 根与系数的关系（韦达定理）现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着重要应用．本专题将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系等进行讲述。【知识梳理】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）一元二次方程的两个根为：所以：，定理：如果一元二次方程的两个根为，那么：说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”．上述定理成立的前提是．【典例解析】1.已知方程的一个根是 2，求它的另一个根及 k 的值．【分析】由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出 k 的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出 k 的值．【解析】解法一： 2 是方程的一个根，∴5×22＋k×2－6＝0，∴k＝－7．所以，方程就为 5x2－7x－6＝0，解得 x1＝2，x2＝－．所以，方程的另一个根为－，k 的值为－7．解法二：设方程的另一个根为 x1，则 2x1＝－，∴x1＝－．由 （－）＋2＝－，得 k＝－7．所以，方程的另一个根为－，k 的值为－7．【解题反思】本题两种解法进行比较，解法一将已知的根代入方程求解出 k 的值，再求另一个根；而解法二直接运用韦达定理，建立二元一次方程求解更加高效。2. 若 x1和 x2分别是一元二次方程 2x2＋5x－3＝0 的两根．（1）求的值； （2）求的值；（3）x13＋x23．【解析】 x1和 x2分别是一元二次方程 2x2＋5x－3＝0 的两根， ∴，．（1） | x1－x2|2＝x12+ x22－2 x1x2＝(x1＋x2)2－4 x1x2＝＝＋6＝， ∴| x1－x2|＝．（2）．（3）x13＋x23＝(x1＋x2)( x12－x1x2＋x22)＝(x1＋x2)[ ( x1＋x2) 2－3x1x2] ＝(－)×[(－)2－3×()]＝－．【解题反思】为了解题简便，我们探讨出一般规律：设分别是一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根，则运用根与系数的关系以下变形需掌握；①②③④；或【变式训练】1.若是方程的两个根，试求下列各式的值；（1）； （2）；（3）； （4）；【分析】本题若运用求根公式先求解，运算量太大，借助韦达定理是一条更加高效的解题思路；【点评】掌握韦达定理的常见变形可帮助我们提升解题速度...
