第 2 讲 二次函数的最值 二次函数是初中函数的主角，所蕴含的函数性质丰富，也是高中学习的重要基础．当自变量在某个范围内取值时，求函数的最大（小）值，这类问题称为最值问题问题．最值问题在实际生活中也有广阔的应用．【知识梳理】1.二次函数解析式的三种形式：一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0).顶点式：y＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).零点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为 f(x)的零点.2.二次函数的图象和性质解析式y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)图象对称性函数的图象关于 x＝－对称3.二次函数的最值（1）.当 a＞0 时，函数 y＝ax2＋bx＋c 图象开口向上；顶点坐标为，对称轴为直线 x＝－；当 x＜时，y 随着 x 的增大而减小；当 x＞时，y 随着 x 的增大而增大；当 x＝时，函数取最小值 y＝．（2）.当 a＜0 时，函数 y＝ax2＋bx＋c 图象开口向下；顶点坐标为，对称轴为直线 x＝－；当 x＜时，y 随着 x 的增大而增大；当 x＞时，y 随着 x 的增大而减小；当 x＝时，函数取最大值 y＝． 【高效演练】1.二次函数的图象过点(0，1)，对称轴为 x＝2，最小值为－1，则它的解析式是 y＝________.【解析】设 y＝a(x－2)2－1(a＞0)，当 x＝0 时，4a－1＝1，a＝，所以 y＝(x－2)2－1＝x2－2x＋1.【答案】x2－2x＋1.2.已知函数 y=x2＋2ax＋1－a(x∈[0，1])有最大值 2，则 a＝________.【解析】函数 f(x)＝－x2＋2ax＋1－a＝－(x－a)2＋a2－a＋1，其图象的对称轴方程为 x＝a.当 a<0 时，f(x)max＝f(0)＝1－a，所以 1－a＝2，所以 a＝－1.当 0≤a≤1 时，f(x)max＝f(a)＝a2－a＋1，所以 a2－a＋1＝2，所以 a2－a－1＝0，所以 a＝(舍去)．当 a>1 时，f(x)max＝f(1)＝a，所以 a＝2.综上可知，a＝－1 或 a＝2.【答案】－1 或 2.3.已知函数 y=x2﹣2x+3，求下列情况下二次函数的最值（1）2≤x≤3；（2）-2≤x≤2．【分析】（1）根据二次函数 y=x2﹣2x+3 的图象和性质，分析当 2≤x≤3 时，y 递增，进而可得 y 的最大值、最小值；（2）根据二次函数 y=x2﹣2x+3 的图象和性质，分析当-2≤x≤2．时，函数的单调性，进而可得 y 的最大值、最小值．【点评】熟练掌握二次函数的图象和性质是求取最值的关键。4.二次函数 y=ax2+bx+c（1）若 a=1，b=﹣1，c=﹣2，求此抛物线与坐标轴的交点坐标．（2）若 a=1，b=﹣4m，c=1﹣2m，当﹣1＜x＜1 时，抛物线与 x 轴有一个...
