第 1 讲 解直角三角形三角形是最重要的基本平面图形，它包含了丰富的知识，也蕴含了深刻的思想，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题。三角形与高中三角函数、向量、解三角形及立体几何等部分都有密切的联系，因而扎实掌握三角形的相关知识是进一步学习的基础。【知识梳理】知识点 1. 三角形及其性质 （1）由不在同一直线上的三条线段‘首尾’顺次连接所组成的封闭图形，称为三角形；（2）三角形的内角和是 180°，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；（3）三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．知识点 2. 解直角三角形 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C 的对边分别为 a，b，c.(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；(2)两个锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；(3)边角之间的关系：sin A＝，cos A＝，tan A＝； sin B＝，cos B＝，tan B＝.（4）三角函数值之间的关系① 同角三角函数之间的关系：sin2α＋cos2α＝1；tan α＝.② 互余两角的三角函数关系：若∠A＋∠B＝90°，则 sin A＝cos B 或 sin B＝cos A.（5）特殊锐角的三角函数值αsin αcos αtan α30°45°160°直角三角形是一种特殊的三角形，因为有勾股定理及锐角三角函数的运用，使它的边角关系更加丰富，同时也为高中学习解三角形和三角函数，提供了很好的阶梯。【典例解析】1.在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，若 AB＝4，sin A＝，求斜边上的高 CD.【分析】在 Rt△ABC 中，由 AB 与 sin A 的值，求出 BC 的长，根据勾股定理求出 AC 的长，再根据面积法求出斜边上的高 CD 的长．【解析】sin A＝，AB＝4，∴BC＝AB·sin A＝.由勾股定理可得 AC＝，由面积法， AB·CD＝AC·BC，∴CD＝.【解题反思】解直角三角形时，结合图形，尽可能使用题目中给出的原始数据，一般常把锐角三角函数与勾股定理结合使用.【典例解析】2.天塔是天津市的标志性建筑之一．某校数学兴趣小组要测量天塔的高度．如图，他们在点A 处测得天塔的最高点 C 的仰角为 45°，再往天塔方向前进至点 B 处测得天塔的最高点 C 的仰角为54°，AB＝112 m．根据这个兴趣小组测得的数据，计算天塔的高度 CD.(tan 36°≈0.73，结果保留整数)【分析】在等腰三角形 ADC 中，AD＝CD，而 AD＝AB＋BD＝112＋BD，所以 BD＝CD－112，故又可以在直角三角形 BDC 中，利用∠BCD 的正切把 BD 和 CD 联系在一起．【解题反思】仰角、俯...
